KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4127. Solve the equation x5-x3y2-x3y-x2y3+y2=0 on the set of integers.

Suggested by Á. Somogyi

(4 points)

Deadline expired on 15 December 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az x=0,y=0 számpár nyilván megoldása az egyenletnek. Az is világos, hogy ha x és y közül valamelyik 0, akkor a másik is 0. Tegyük fel, hogy a 0-tól különböző x,y egész számok az egyenlet megoldását adják. Ekkor y2=x2(-x3+xy2+xy+y3) miatt y2 osztható x2-tel, vagyis y=xt alkalmas 0-tól különböző t egész számmal. Ezt behelyettesítve x2-tel való leosztás után x3-x3t2-x2t-x3t3+t2=0 adódik.

Az előző lépéshez hasonlóan, t2-re rendezve látható, hogy t2 is osztható x2-tel, vagyis t=xs alkalmas 0-tól különböző s egész számmal. Behelyettesítés és x2-tel való leosztás után azt kapjuk, hogy x-x3s2-xs-x4s3+s2=0. Innen látszik, hogy x osztható s-sel, vagyis létezik olyan u\ne0 egész szám, hogy x=su. Ezt beírva, majd s-sel leosztva az u-s4u3-su-s6u4+s=0 egyenlőségre jutunk. Ez csak úgy teljesülhet, ha u osztható s-sel és s is osztható u-val. Ezek szerint u=s vagy u=-s. Az első esetben s-s7-s2-s10+s=0, vagyis s9+s6+s-2=0, a másik esetben pedig hasonlóképpen s8-s5-1=0 adódik. Az s egész szám a második esetben osztója az 1-nek, az első esetben a 2-nek. Könnyű ellenőrizni azonban, hogy az s=\pm1,\pm2 számok egyikére sem teljesülnek ezek az összefüggések. Az egyenlet egyetlen megoldása tehát x=y=0.


Statistics on problem B. 4127.
49 students sent a solution.
4 points:Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Horowitz Gábor, Kispéter Tamás, Korányi Gergő, Lelkes Ádám, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zelena Réka, Zsakó András.
3 points:Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Vid, Márki Róbert, Réti Dávid, Tóth 419 Péter, Vörös Tamás.
2 points:4 students.
1 point:10 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley