KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4127. Solve the equation x5-x3y2-x3y-x2y3+y2=0 on the set of integers.

Suggested by Á. Somogyi

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az x=0,y=0 számpár nyilván megoldása az egyenletnek. Az is világos, hogy ha x és y közül valamelyik 0, akkor a másik is 0. Tegyük fel, hogy a 0-tól különböző x,y egész számok az egyenlet megoldását adják. Ekkor y2=x2(-x3+xy2+xy+y3) miatt y2 osztható x2-tel, vagyis y=xt alkalmas 0-tól különböző t egész számmal. Ezt behelyettesítve x2-tel való leosztás után x3-x3t2-x2t-x3t3+t2=0 adódik.

Az előző lépéshez hasonlóan, t2-re rendezve látható, hogy t2 is osztható x2-tel, vagyis t=xs alkalmas 0-tól különböző s egész számmal. Behelyettesítés és x2-tel való leosztás után azt kapjuk, hogy x-x3s2-xs-x4s3+s2=0. Innen látszik, hogy x osztható s-sel, vagyis létezik olyan u\ne0 egész szám, hogy x=su. Ezt beírva, majd s-sel leosztva az u-s4u3-su-s6u4+s=0 egyenlőségre jutunk. Ez csak úgy teljesülhet, ha u osztható s-sel és s is osztható u-val. Ezek szerint u=s vagy u=-s. Az első esetben s-s7-s2-s10+s=0, vagyis s9+s6+s-2=0, a másik esetben pedig hasonlóképpen s8-s5-1=0 adódik. Az s egész szám a második esetben osztója az 1-nek, az első esetben a 2-nek. Könnyű ellenőrizni azonban, hogy az s=\pm1,\pm2 számok egyikére sem teljesülnek ezek az összefüggések. Az egyenlet egyetlen megoldása tehát x=y=0.


Statistics on problem B. 4127.
49 students sent a solution.
4 points:Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Horowitz Gábor, Kispéter Tamás, Korányi Gergő, Lelkes Ádám, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zelena Réka, Zsakó András.
3 points:Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Vid, Márki Róbert, Réti Dávid, Tóth 419 Péter, Vörös Tamás.
2 points:4 students.
1 point:10 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program