Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4130. feladat (2008. november)

B. 4130. Adott véges sok szakasz egy egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy ha ezeket úgy rendezzük át, hogy bármely két szakasznak a középpontja közelebb kerül egymáshoz, akkor a szakaszok uniójának összhossza nem nő.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Az egyenest azonosítsuk a valós számegyenessel, az s szakasz átrendezés utáni képét jelölje s', a véges sok szakaszból álló S szakaszrendszer képe ennek megfelelően legyen S', t(S) pedig jelölje az S-beli szakaszok U(S) uniójának összhosszát. Elegendő az állítást olyan S szakaszrendszerek esetén bizonyítani, melyekre U(S) összefüggő. Valóban, ha S=S_1\cup S_2\cup\ldots\cup S_k, ahol U(S_1),U(S_2),\ldots,U(S_k) páronként diszjunkt szakaszok, akkor ennek alapján

t(S)=t(S_1)+t(S_2)+\ldots+t(S_k)\ge t(S_1')+t(S_2')+\ldots+t(S_k')\ge t(S')

már következik.

Legyen tehát U(S)=[a,b]. Azt kell igazolnunk, hogy t(S')\let([a,b])=b-a. U(S') legkisebb és legnagyobb elemét jelölje a', illetve b'. Mivel t(S')\let([a',b'])=b'-a', elegendő azt megmutatni, hogy b'-a'\leb-a. Legyen s\inS egy olyan szakasz, amelyre s' baloldali végpontja a', u\inS pedig egy olyan szakasz, amelyre u' jobboldali végpontja b'. Ha s=u, akkor U(S')=s', s\subseteq U(S) miatt az állítás nyilvánvaló. Feltesszük tehát, hogy s\neu, és legyen [c,d] a legrövidebb intervallum, amely tartaltalmazza az s és u szakaszok egyesítését. Ekkor a\lec\led\leb, vagyis elegendő azt megmutatni, hogy b'-a'\led-c. Jelölje s és u hosszát \alpha, illetve \beta, középpontjaik távolságát pedig \varrho. Ekkor |\alpha-\beta|\ge2\varrho esetén d-c=max {\alpha,\beta}, |\alpha-\beta|\le2\varrho esetén pedig d-c=\frac{\alpha+\beta}{2}+\varrho, vagyis f(\varrho)=d-c a \varrho mennyiség monoton növő függvénye. Ha tehát az s' és u' szakaszok középpontjának távolsága \varrho'<\varrho, akkor b'-a'=f(\varrho')<f(\varrho)=d-c.


Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Kispéter Tamás, Nagy 648 Donát, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:Fonyó Dávid, Keresztfalvi Tibor, Strenner Péter, Varga 171 László.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai