KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4131. (November 2008)

B. 4131. A mouse is placed in one corner cell of a 3×3×3 lattice of cubes, and a piece of cheese is placed in the central cell. The mouse moves about the lattice in a random way, entering an adjacent cell in each step. In how many steps is it expected to find the cheese?

(5 pont)

Deadline expired on 15 December 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A rács négyféle típusú kockából áll: 8 db sarokkockából (s típus), 12 db olyanból, amelyik él közepén helyezkedik el, (e típus), 6 db olyanból, amelyik lap közepén helyezkedik el, (l típus), és végül a középső kockából (k típus). Ha az egér a k típusú kockába ér, akkor megtalálja a sajtot, és nem bolyong már tovább, tehát további lépésekre nem kerül sor.

Egy adott x típus esetén jelölje Pn(x) annak a valószínűségét, hogy az n-edik lépésre ténylegesen sor kerül, és ezen lépés megtétele után az egér x típusú kockába kerül. Mivel az egér s típusú kockából 1 valószínűséggel e típusúba kerül, e típusúból 1/2 valószínűséggel s típusúba és ugyanekkora valószínűséggel l típusúba, l típusúból pedig 1/5 valószínűséggel k típusúba, 4/5 valószínűséggel pedig e típusúba, érvényesek az alábbi összefüggések:

P_{n+1}(s)=P_{n+1}(l)=\frac{1}{2}P_n(e),\quad
P_{n+1}(e)=P_n(s)+\frac{4}{5}P_n(l),
\quad P_{n+1}(k)=\frac{1}{5}P_n(l).

Ezért

P_{n+2}(k)=\frac{1}{5}P_{n+1}(l)=\frac{1}{10}P_n(e)\quad
\hbox{\rm és}\quad
P_{n+2}(e)=P_{n+1}(s)+\frac{4}{5}P_{n+1}(l)=\frac{9}{10}P_n(e).

Nyilván P1(e)=1 és P2(e)=P1(k)=P2(k)=0. Ezért Pn(e)=0, ha n páros, n=2m+1 esetén pedig Pn(e)=(9/10)m, Pn(k) értéke pedig 1-nél nagyobb páratlan n számok esetén lesz csak 0-tól különböző: P2m+3(k)=(1/10)P2m+1(e)=(1/10)(9/10)m. Az egér tehát várhatóan

\sum_{n=1}^\infty nP_n(k)=\sum_{m=0}^\infty(2m+3)\cdot\frac{1}{10}\cdot
\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m=
\frac{3}{10}\sum_{m=0}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m+
\frac{2}{10}\sum_{m=0}^\infty m\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m=

=3+\frac{2}{10}\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=n}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m=
3+\frac{2}{10}\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^n
\sum_{m=0}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m=
3+2\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^n=21

lépésben találja meg a sajtot.


Statistics:

65 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bóra Eszter, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Dudás 002 Zsolt, Egyed Zsombor, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Horowitz Gábor, Horváth Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kovács 999 Noémi, Kunos Vid, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 127 Márton, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Nagy-Baló András, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szenczi Zoltán, Szívós Eszter, Török 999 Csaba, Varga 171 László, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:Aujeszky Tamás, Fekete Dorottya, Gudenus Balázs, Neukirchner Elisabeth, Nguyen Milán, Réti Dávid.
3 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley