KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4133. (December 2008)

B. 4133. P and Q are points on the sides BC and CD of a rectangle ABCD, such that the triangle APQ is equilateral. Prove that tAQD+tABP=tPCQ.

(3 pont)

Deadline expired on 15 January 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a PAB szög \alpha, a QAD szög pedig \beta, ezek összege tehát 30o. Tegyük fel, hogy a szabályos háromszög oldala egységnyi. Ekkor AB=CD=cos \alpha, AD=BC=cos \beta, BP=sin \alpha, DQ=sin \beta, CP=BC-BP=cos \beta-sin \alpha és CQ=CD-DQ=cos \alpha-sin \beta. Ennek megfelelően a

sin \alphacos \alpha+sin \betacos \beta=(cos \alpha-sin \beta)(cos \beta-sin \alpha)

egyenlőséget kell igazolnunk, amit átírhatunk

sin 2\alpha+sin 2\beta=cos (\alpha-\beta)

alakra. A baloldalt szorzattá alakítva sin 30o=1/2 miatt valóban

sin 2\alpha+sin 2\beta=2sin (\alpha+\beta)cos (\alpha-\beta)=cos (\alpha-\beta).


Statistics:

70 students sent a solution.
3 points:Ágoston Tamás, Ambrits Dániel, Béres Ferenc, Botos Csongor, Böőr Katalin, Csörgő Judit, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Döbrei Gábor, Fónagy 092 Fanni, Fülep Csilla, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Klenk 191 Blanka, Kovács 235 Gábor, Kunos Vid, Lenger Dániel, Loose Lilla, Maknics András, Márki Róbert, Matyuska Péter, Mezei Márk, Nagy 123 Balázs, Nguyen Sy Bang, Paripás Viktor, Réti Dávid, Strenner Péter, Szabó 124 Zsolt, Szepcsik Áron, Szili László, Szívós Eszter, Szórádi Márk, Tóth 222 Barnabás, Tóth Tekla, Török 999 Csaba, Udvari Benjámin, Varga 009 Bálint, Varju 105 Tamás, Vécsey Máté, Végh János, Weisz Gellért, Welsz Edit, Zolcsák Zita, Zsakó András.
2 points:13 students.
1 point:6 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley