Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4134. (December 2008)

B. 4134. Let t_3(a_1,\ldots,a_k) denote the number of three term arithmetic progressions that can be selected from the terms of a sequence a1<a2<...<ak. Prove that t_3(a_1,\ldots,a_k)\le
t_3(1,2,\ldots,k).

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Nyilván pontosan k darab konstans háromtagú számtani sorozatot képezhetünk, a szigorúan csökkenő sorozatok száma pedig megegyezik a szigorúan növő sorozatok számával. Feltehetjük tehát, hogy kizárólag a szigorúan növő sorozatokat számoljuk össze. Jelölje 1\lei\lek esetén t_3^i(a_1,\ldots,a_k) a sorozat elemeiből kiválasztható azon háromtagú számtani sorozatok számát, amelyeknek középső eleme ai. Egy ilyen sorozat első eleme az a_1,\ldots,
a_{i-1}, harmadik eleme pedig az a_{i+1},\ldots,a_k számok közül kerül ki, ezért

t_3^i(a_1,\ldots,a_k)\le \min\{i-1,k-i\}= t_3^i(1,2,\ldots,k).

Minthogy

t_3(a_1,\ldots,a_k)=\sum_{i=1}^k t_3^i(a_1,\ldots,a_k),

a bizonyítandó állítást ezen egyenlőtlenségek összegzésével nyerjük.


Statistics:

37 students sent a solution.
4 points:Mészáros András.
3 points:Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Horowitz Gábor, Janzer Olivér, Kalina Kende, Kiss 232 Dóra, Kovács 235 Gábor, Kunos Vid, Lenger Dániel, Mester Márton, Strenner Péter, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
2 points:8 students.
0 point:11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008