Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4137. (December 2008)

B. 4137. Let n be a positive integer. Prove that \sum_{0\le k<n/2} \binom{n}{2k+1} 13^k is divisible by 2n-1.

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a szóban forgó kifejezést an. Ha i<0, illetve i>n esetén az n\choose i binomiális együtthatót 0-nak értelmezzük, akkor ezt

a_n=\sum{n\choose 2k+1}13^k

alakban értelmezhetjük, ahol az összegzést az összes k egész számra végezzük ugyan, de az összegnek csak véges sok tagja lesz 0-tól különböző. Könnyen ellenőrizhető az is, hogy a szokásos

{n\choose i}+{n\choose i+1}={n+1\choose i+1}

azonosság minden i egész szám esetén érvényben marad. Ennek alapján n\ge3 esetén egyrészt

a_n-a_{n-1}=\sum{n\choose 2k+1}13^k-\sum{n-1\choose 2k+1}13^k=

=\sum{n-1\choose 2k}13^k=\sum{n-2\choose 2k}13^k+
\sum{n-2\choose 2k-1}13^k,

másrészt

a_{n-1}=\sum{n-1\choose 2k+1}13^k=\sum{n-2\choose 2k+1}13^k+
\sum{n-2\choose 2k}13^k,

vagyis

a_n-2a_{n-1}=\sum{n-2\choose 2k-1}13^k-\sum{n-2\choose 2k+1}13^k=

=13\sum{n-2\choose 2k-1}13^{k-1}-\sum{n-2\choose 2k+1}13^k
=12\sum{n-2\choose 2k+1}13^k=12a_{n-2}.

Innen már n szerinti teljes indukcióval könnyen igazolható, hogy an=2n-1bn teljesül alkalmas bn egész számmal. Valóban, a1=1, a2=2 miatt ez b1=b2=1 választással adódik, n\ge3 esetén pedig az indukciós feltevést alkalmazva

an=2an-1+12an-2=2.2n-2bn-1+12.2n-3bn-2=2n-1(bn-1+3bn-2).


Statistics:

27 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Kovács 888 Adrienn, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Németh Bence, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston.
4 points:Bálint Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Perjési Gábor, Strenner Péter, Tuan Nhat Le.
1 point:1 student.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008