Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4138. (December 2008)

B. 4138. Solve the following equation: \sqrt{2}\cdot (\sin x+\cos x)= \tan x+ \cot x.

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha a jobboldal értelmes, akkor \mathop{\rm ctg} x=1/\mathop{\rm tg} x miatt |\mathop{\rm tg} x+ \mathop{\rm ctg} x|\ge 2. Másrészről

\sin x+\cos x=2\cos(45^\circ-x)\sin45^\circ=\sqrt{2}\cos(45^\circ-x)

miatt |\sqrt{2}\cdot (\sin x+\cos x)|=2|\cos(45^\circ-x)|\le 2. Ezért az egyenlet minden x megoldására |cos (45o-x)|=1, vagyis x=45o+k.180o teljesül alkalmas k egész számmal. Ezek közül azonban csak a 45o+k.360o alakú szögek megoldásai az egyenletnek.


Statistics:

133 students sent a solution.
4 points:77 students.
3 points:37 students.
2 points:8 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008