Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4138. feladat (2008. december)

B. 4138. Oldjuk meg a következő egyenletet:


\sqrt{2}\cdot (\sin x+\cos x)= \mathop{\rm tg} x+ \mathop{\rm ctg} x.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Ha a jobboldal értelmes, akkor \mathop{\rm ctg} x=1/\mathop{\rm tg} x miatt |\mathop{\rm tg} x+ \mathop{\rm ctg} x|\ge 2. Másrészről

\sin x+\cos x=2\cos(45^\circ-x)\sin45^\circ=\sqrt{2}\cos(45^\circ-x)

miatt |\sqrt{2}\cdot (\sin x+\cos x)|=2|\cos(45^\circ-x)|\le 2. Ezért az egyenlet minden x megoldására |cos (45o-x)|=1, vagyis x=45o+k.180o teljesül alkalmas k egész számmal. Ezek közül azonban csak a 45o+k.360o alakú szögek megoldásai az egyenletnek.


Statisztika:

132 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:76 versenyző.
3 pontot kapott:37 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai