KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4139. (December 2008)

B. 4139. Two altitudes of an acute-angled triangle ABC are BE and CF. Line EF intersects the circumscribed circle at P and Q. Prove that AP=AQ.

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A körülírt kör középpontja legyen O, az A-ból az EF egyenesre bocsájtott merőleges talppontja X, az ABC szöget pedig szokás szerint jelölje \beta. Ekkor AOC\sphericalangle=2\beta, vagyis CAO\sphericalangle=ACO\sphericalangle=90^\circ-\beta. Mivel E és F egyaránt a BC szakaszra emelt Thalesz-körön helyezkednek el, a BCEF négyszög húrnégyszög és így AEF\sphericalangle=\beta. Ebből adódik, hogy CAX\sphericalangle=90^\circ-AEF\sphericalangle=
CAO\sphericalangle, vagyis az AX egyenes áthalad az O ponton. Más szóval az AX egyenes a kör egy szimmetriatengelye, ami felezi a rá merőleges PQ húrt, amiért is az AXP és AXQ derékszögű háromszögek egybevágóak, AP=AQ.


Statistics:

79 students sent a solution.
4 points:68 students.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley