Problem B. 4140. (December 2008)

B. 4140. E is the midpoint of the arc BC on the circumscribed circle of a cyclic quadrilateral ABCD. The midpoint of arc DA is F. Let P and Q be the centres of the inscribed circles of triangles ABC and ABD, respectively. Show that PQ is parallel to EF.

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen $CAB\sphericalangle=\alpha$ , $DBA\sphericalangle=\beta$ , $ACB\sphericalangle=ADB\sphericalangle=\eta$ . Ekkor a $PAB\sphericalangle$ és az $EAB\sphericalangle$ nagysága is $\alpha$ /2, vagyis a P pont az AE szakaszon helyezkedik el. Ezzel az EF szakasz $FEA\sphericalangle=FBA\sphericalangle=\beta/2$ nagyságú szöget zár be. Elég tehát azt megmutatni, hogy $QPA\sphericalangle=\beta/2$ . Mivel $APB\sphericalangle=AQB\sphericalangle=90^\circ+\eta/2$ , az ABPQ négyszög húrnégyszög. Ezért valóban $QPA\sphericalangle= QBA\sphericalangle=\beta/2$ .

Statistics:

34 students sent a solution.

4 points: Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Dorkó Barbara, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Hajdók Soma, Hegedűs Csaba, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kószó Simon, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Popper Dávid, Roberts Vivienne, Somogyi Ákos, Szenczi Zoltán, Tuan Nhat Le, Varga 171 László.

3 points: Barczel Nikolett, Blattner Tímea, Bősze Zsuzsanna, Győrfi 946 Mónika, Tóth 222 Barnabás.

1 point: 1 student.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008

34 students sent a solution.
4 points:	Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Dorkó Barbara, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Hajdók Soma, Hegedűs Csaba, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kószó Simon, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Popper Dávid, Roberts Vivienne, Somogyi Ákos, Szenczi Zoltán, Tuan Nhat Le, Varga 171 László.
3 points:	Barczel Nikolett, Blattner Tímea, Bősze Zsuzsanna, Győrfi 946 Mónika, Tóth 222 Barnabás.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?