Problem B. 4141. (December 2008)
B. 4141. Prove that (a2+2)(b2+2)(c2+2)
3(a+b+c)2 is true for all real numbers a, b, c.
(5 pont)
Deadline expired on January 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az egyenlőtlenség c-re rendezve
(a2b2+2a2+2b2+1)c2-6(a+b)c+(2(a2+2)(b2+2)-3(a+b)2)0.
Mivel c2 együtthatója pozitív, rögzített a,b esetén ez pontosan akkor teljesül minden c valós számra, ha a baloldalon álló kifejezés diszkriminánsa nem pozitív. Ezt a feltételt 4-gyel való leosztás után
(a2b2+2a2+2b2+1)(2a2b2+a2+b2-6ab+8)9(a+b)2
alakra hozhatjuk. Mivel 2a2b2+a2+b2-6ab+8=2(ab-1)2+(a-b)2+66, elegendő annyit megmutatni, hogy tetszőleges a,b valós számok esetén
2(a2b2+2a2+2b2+1)3(a+b)2.
Ez azonban ekvivalens a 2(ab-1)2+(a-b)20 egyenlőtlenséggel, ami nyilván tetszőleges a,b valós számok esetén fennáll. A leírtak alapján az egyenlőség esete is könnyen diszkutálható, ugyanis a szóban forgó diszkrimináns pontosan akkor lesz 0, ha ab-1=a-b=0. Innen már könnyen adódik, hogy egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a=b=c=1, vagy ha a=b=c=-1.
Statistics:
42 students sent a solution. 5 points: Bálint Dániel, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Cséke Balázs, Döbrei Gábor, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Köpenczei Gergő, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Németh Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Tuan Nhat Le, Varga 009 Bálint, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Zsakó András. 3 points: 2 students. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008