KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4141. Prove that (a2+2)(b2+2)(c2+2)\ge3(a+b+c)2 is true for all real numbers a, b, c.

(5 points)

Deadline expired on 15 January 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az egyenlőtlenség c-re rendezve

(a2b2+2a2+2b2+1)c2-6(a+b)c+(2(a2+2)(b2+2)-3(a+b)2)\ge0.

Mivel c2 együtthatója pozitív, rögzített a,b esetén ez pontosan akkor teljesül minden c valós számra, ha a baloldalon álló kifejezés diszkriminánsa nem pozitív. Ezt a feltételt 4-gyel való leosztás után

(a2b2+2a2+2b2+1)(2a2b2+a2+b2-6ab+8)\ge9(a+b)2

alakra hozhatjuk. Mivel 2a2b2+a2+b2-6ab+8=2(ab-1)2+(a-b)2+6\ge6, elegendő annyit megmutatni, hogy tetszőleges a,b valós számok esetén

2(a2b2+2a2+2b2+1)\ge3(a+b)2.

Ez azonban ekvivalens a 2(ab-1)2+(a-b)2\ge0 egyenlőtlenséggel, ami nyilván tetszőleges a,b valós számok esetén fennáll. A leírtak alapján az egyenlőség esete is könnyen diszkutálható, ugyanis a szóban forgó diszkrimináns pontosan akkor lesz 0, ha ab-1=a-b=0. Innen már könnyen adódik, hogy egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha a=b=c=1, vagy ha a=b=c=-1.


Statistics on problem B. 4141.
42 students sent a solution.
5 points:Bálint Dániel, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Cséke Balázs, Döbrei Gábor, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Köpenczei Gergő, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Németh Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Tuan Nhat Le, Varga 009 Bálint, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Zsakó András.
3 points:2 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley