KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4143. (January 2009)

B. 4143. Two adjacent vertices of a square lie on a unit circle. What are the smallest and largest possible distances of the other two vertices from the centre of the circle?

(4 pont)

Deadline expired on 16 February 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A másik két csúcs a középponttól ugyanolyan távol helyezkedik el. Az egyszerű megoldás kulcsa a feladat következő átfogalmazása. Adott egy egység sugarú k kör és annak egy A pontja. A pozitív körüljárású ABCD négyzet B csúcsa a k körre illeszkedik. Mi a D csúcsnak a kör O középpontjától való lehetséges legkisebb és legnagyobb távolsága?

A D csúcsot a B-ből A körüli pozitív irányú 90o-os forgatással kapjuk. Ezért amikor a B csúcs befutja a k kör A-tól különböző pontjait, a D csúcs mértani helye azon O' középpontú k' kör A-tól különböző pontjaiból áll, amelyet a k-ból ugyancsak A körüli pozitív irányú 90o-os forgatás hoz létre. Az extremális helyzetben lévő D pontok az OO' egyenesen helyezkednek el. Mivel az OO' távolság \sqrt{2}, a D pontnak O-tól való lehetséges legkisebb távolsága \sqrt{2}-1, lehetséges legnagyobb távolsága pedig \sqrt{2}+1.


Statistics:

>
80 students sent a solution.
4 points:Balla Attila, Bárány Ambrus, Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Brunda Dániel, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fekete Dorottya, Frankl Nóra, Hajdók Soma, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Klenk 191 Blanka, Klincsik Gergely, Korondi Zénó, Kunos Vid, Lantos Tamás, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márkus Bence, Mészáros András, Muszka Balázs, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Prok Tamás, Réti Dávid, Szenczi Zoltán, Tóth 222 Barnabás, Török 999 Csaba, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston.
3 points:Béres Ferenc, Böőr Katalin, Czégel Dániel, Huszár Kristóf, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor.
2 points:11 students.
1 point:4 students.
0 point:21 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley