KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4145. The longer base of a symmetrical trapezium ABCD is at most twice as long as the shorter base. P is a point in the interior of the trapezium. Prove that there exists a quadrilateral whose vertices lie on the sides of the trapezium and whose sides are of lengths AP, BP, CP and DP in some order.

(5 points)

Deadline expired on 16 February 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Tegyük fel, hogy a hosszabbik alap AB. Húzzuk be a P ponton áthaladó, a szárakkal párhuzamos két egyenest. Ezek metszéspontját az AB alappal jelölje X és X' úgy, hogy a pontok sorrendje az AB egyenesen A,X,X',B legyen. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy AX\leBX', és ekkor a feltétel miatt AX<AB/2\leCD. Ezért az AXZD paralelogramma Z csúcsa a CD oldal belső pontja lesz.

Ha a P pontot e paralelogramma középpontjára tükrözzük, akkor az AD szár egy olyan U pontját kapjuk, amelyre AP=UZ és DP=UX. A P pontot az XBCZ szimmetrikus trapéz tengelyére tükrözve pedig a BC szár egy Y pontját kapjuk, amelyre BP=XY és CP=ZY. Az XYZU négyszög ezek szerint a kívánalmaknak eleget tesz.


Statistics on problem B. 4145.
54 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Bicskei Dávid, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Botos Csongor, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Győrfi 946 Mónika, Hajdók Soma, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Janzer Olivér, Jéhn Zoltán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Klenk 191 Blanka, Kovács 888 Adrienn, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Milánkovich Dorottya, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Nagy-Baló András, Perjési Gábor, Popper Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth Tekla, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:Bágyoni-Szabó Attila, Nagy 729 Krisztina, Szenczi Zoltán.
3 points:3 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley