Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4146. (January 2009)

B. 4146. Show that the equation 5x2+3y2=1 has no solutions in the set of rational numbers.

(4 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan a,b,c,d egész számok, ahol b,d\ne0, melyekre 5(a/b)2+3(c/d)2=1, vagyis 5(ad)2+3(bc)2=(bd)2 teljesül. Ez azt jelenti, hogy az 5x2+3y2=z2 egyenletnek létezik egész számokból álló megoldása, ahol z\ne0. Tekintsünk egy olyan (x,y,z) megoldást, ahol z abszolút értéke a lehető legkisebb. Ha x nem osztható 3-mal, akkor x2 3-mal osztva 1 maradékot ad, 5x2 pedig ennek megfelelően 2-t. Vagyis z2 is 2 maradékot kell adjon 3-mal osztva, ami nem lehet. Ezért 3\mid x, vagyis z2=5x2+3y2 is osztható 3-mal. Következésképpen 3\mid z, ahonnan 9\mid z^2-5x^2=3y^2, 3\mid y^2, végül 3\mid y adódik. Ekkor azonban az x1=x/3, y1=y/3, z1=z/3\ne0 egész számokra teljesül 5x12+3y12=z12, és |z1|<|z|. Ez az ellentmondás igazolja a feladat állítását.


Statistics:

102 students sent a solution.
4 points:68 students.
3 points:8 students.
2 points:7 students.
1 point:5 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009