Problem B. 4148. (January 2009)
B. 4148. Solve the following system of equations:
x3y+xy3=10,
x4+y4=17.
(4 pont)
Deadline expired on February 16, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az xy=a,x2+y2=b helyettesítéssel az egyenletek ab=10, b2-2a2=17 alakra hozhatók. Innen b2-2(10/b)2-17=0, b4-17b2-200=0 adódik. A másodfokú egyenletet b2-re megoldva kapjuk, hogy b2=25, a másik gyök ugyanis negatív. Mivel b0, innen b=5, a=2 adódik. Ebből kiindulva kapjuk, hogy (x+y)2=b+2a=9, (x-y)2=b-2a=1, vagyis x+y=3, x-y=1. A négy előjelkombinációnak megfelelően négy lehetőséghez jutunk:
Az egyenletrendszert mind a négy számpár kielégíti.
Statistics:
175 students sent a solution. 4 points: 89 students. 3 points: 39 students. 2 points: 18 students. 1 point: 14 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 8 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009