Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4148. (January 2009)

B. 4148. Solve the following system of equations:

x3y+xy3=10,

x4+y4=17.

(4 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az xy=a,x2+y2=b helyettesítéssel az egyenletek ab=10, b2-2a2=17 alakra hozhatók. Innen b2-2(10/b)2-17=0, b4-17b2-200=0 adódik. A másodfokú egyenletet b2-re megoldva kapjuk, hogy b2=25, a másik gyök ugyanis negatív. Mivel b\ge0, innen b=5, a=2 adódik. Ebből kiindulva kapjuk, hogy (x+y)2=b+2a=9, (x-y)2=b-2a=1, vagyis x+y=\pm3, x-y=\pm1. A négy előjelkombinációnak megfelelően négy lehetőséghez jutunk:

x_1=2,\ y_1=1;\quad x_2=1,\ y_2=2;\quad x_3=-1,\ y_3=-2;\quad
x_4=-2,\ y_4=-1.

Az egyenletrendszert mind a négy számpár kielégíti.


Statistics:

176 students sent a solution.
4 points:90 students.
3 points:39 students.
2 points:18 students.
1 point:14 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009