Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4150. (January 2009)

B. 4150. Two different digits of a number of at least 100 digits and not divisible by ten are interchanged, the resulting number has the same prime factors as the original number. Show an example for such a number.

(5 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha az n darab egyesből álló A_n=111\ldots111 számot 13-mal szorozzuk, akkor az n+1 jegyű B_n=144\ldots443 számhoz jutunk, 31-gyel szorozva pedig az ugyancsak n+1 jegyű C_n=344\ldots441 számot kapjuk. Elegendő tehát olyan n\ge99 számot keresni, amelyre az An=(10n-1)/9 szám prímosztói között szerepel a 13 és a 31 is. A kis Fermat tétel szerint 10^{12}\equiv 1\pmod{13} és 10^{30}\equiv 1 \pmod{31}. Ha tehát n osztható 12-vel és 30-cal is, akkor An osztható mind 13-mal, mind 31-gyel. A B120 szám ezek szerint megfelelő példa.


Statistics:

26 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Horváth Dániel, Kiss 427 Borbála, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 points:Keresztfalvi Tibor, Strenner Péter.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009