KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4150. (January 2009)

B. 4150. Two different digits of a number of at least 100 digits and not divisible by ten are interchanged, the resulting number has the same prime factors as the original number. Show an example for such a number.

(5 pont)

Deadline expired on 16 February 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha az n darab egyesből álló A_n=111\ldots111 számot 13-mal szorozzuk, akkor az n+1 jegyű B_n=144\ldots443 számhoz jutunk, 31-gyel szorozva pedig az ugyancsak n+1 jegyű C_n=344\ldots441 számot kapjuk. Elegendő tehát olyan n\ge99 számot keresni, amelyre az An=(10n-1)/9 szám prímosztói között szerepel a 13 és a 31 is. A kis Fermat tétel szerint 10^{12}\equiv 1\pmod{13} és 10^{30}\equiv 1 \pmod{31}. Ha tehát n osztható 12-vel és 30-cal is, akkor An osztható mind 13-mal, mind 31-gyel. A B120 szám ezek szerint megfelelő példa.


Statistics:

26 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Horváth Dániel, Kiss 427 Borbála, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 points:Keresztfalvi Tibor, Strenner Péter.
0 point:4 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley