KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4151. Let \alpha=\pi/14. Evaluate sin \alpha.sin 3\alpha.sin 5\alpha.

(4 points)

Deadline expired on 16 February 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A sin x=cos (\pi/2-x) összefüggés segítségével írjuk át a kifejezést

K=\cos\frac{\pi}{7}\cdot\cos\frac{2\pi}{7}\cdot\cos\frac{3\pi}{7}

alakra. A 2cos xcos y=cos (x-y)+cos (x+y) képlet ismételt alkalmazásával

K=\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{7}\Bigl(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}
\Bigr)=\frac{1}{4}\Bigl(\cos0+\cos\frac{2\pi}{7}+
\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\Bigr)=

=\frac{1}{8}\Bigl(1+\cos0+\cos\frac{2\pi}{7}+
\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}+
\cos\frac{10\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}\Bigr).

Tekintsük azt az origó középpontú egységsugarú körbe írt szabályos hétszöget, amelynek egyik csúcsa az (1;0) pont. Szimmetria okokból az origóból a hétszög csúcsaiba mutató vektorok összege nulla. Ugyanakkor ennek az összegvektornak az első koordinátája éppen az előbbi zárójelben található hét koszinusz összege, vagyis ez utóbbi értéke 0. Így hát a keresett érték K=1/8.


Statistics on problem B. 4151.
66 students sent a solution.
4 points:58 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley