KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4152. Adott az 1, 2, 3, \ldots, n számoknak n darab különböző részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szám, amelyet minden halmazból elhagyva, a megmaradó halmazok továbbra is különbözőek.

(4 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás: Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, vagyis minden 1\lei\len esetén található az adott halmazok között egy Ai és egy Bi halmaz úgy, hogy i\not\in A_i, de Bi=Ai\cup{i}. Tekintsük az adott halmazokat egy gráf csúcsainak, melyben minden i-re az Ai és Bi halmazokat összekötöttünk egy ei éllel. Ennek az n szögpontú, nyilván egyszerű gráfnak pontosan n éle van, tehát található benne egy kör, vagyis az adott halmazoknak egy olyan H_1, H_2,\ldots,H_k sorozata, ahol az indexekkel modulo k számolva, minden i-re Hi és Hi+1 között halad egy él. A kör irányítását megfelelően választva feltehetjük, hogy H1=Aj, H2=Bj valamely 1\lej\len esetén. Ekkor a j szám nem eleme a H1 halmaznak, de eleme H2-nek. Mivel i\ne1 esetén Hi és Hi+1 között már nem az ej él vezet, ebből j\inH3, majd ugyanígy j\in H_4,\ldots,j\in H_k, végül j\inH1 adódik. Ez az ellentmodás bizonyítja, hogy az állítás mégiscsak igaz kellett legyen.


A B. 4152. feladat statisztikája
55 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Backhausz Tibor, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Damásdi Gábor, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss 991 Mátyás, Lovas Lia Izabella, Mészáros András, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Strenner Péter, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 pontot kapott:Énekes Péter, Szabó 124 Zsolt, Tubak Dániel.
2 pontot kapott:5 versenyz .
1 pontot kapott:4 versenyz .
0 pontot kapott:17 versenyz .
Nem versenyszer :3 dolgozat.


  • A KöMaL 2009. februári matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap