KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4152. Adott az 1, 2, 3, \ldots, n számoknak n darab különböző részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szám, amelyet minden halmazból elhagyva, a megmaradó halmazok továbbra is különbözőek.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. március 16-én LEJÁRT.


Megoldás: Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, vagyis minden 1\lei\len esetén található az adott halmazok között egy Ai és egy Bi halmaz úgy, hogy i\not\in A_i, de Bi=Ai\cup{i}. Tekintsük az adott halmazokat egy gráf csúcsainak, melyben minden i-re az Ai és Bi halmazokat összekötöttünk egy ei éllel. Ennek az n szögpontú, nyilván egyszerű gráfnak pontosan n éle van, tehát található benne egy kör, vagyis az adott halmazoknak egy olyan H_1, H_2,\ldots,H_k sorozata, ahol az indexekkel modulo k számolva, minden i-re Hi és Hi+1 között halad egy él. A kör irányítását megfelelően választva feltehetjük, hogy H1=Aj, H2=Bj valamely 1\lej\len esetén. Ekkor a j szám nem eleme a H1 halmaznak, de eleme H2-nek. Mivel i\ne1 esetén Hi és Hi+1 között már nem az ej él vezet, ebből j\inH3, majd ugyanígy j\in H_4,\ldots,j\in H_k, végül j\inH1 adódik. Ez az ellentmodás bizonyítja, hogy az állítás mégiscsak igaz kellett legyen.


A B. 4152. feladat statisztikája
55 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Backhausz Tibor, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Damásdi Gábor, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss 991 Mátyás, Lovas Lia Izabella, Mészáros András, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Strenner Péter, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 pontot kapott:Énekes Péter, Szabó 124 Zsolt, Tubak Dániel.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:17 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.


  • A KöMaL 2009. februári matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley