KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4153. (February 2009)

B. 4153. The centre of the circumscribed circle of triangle ABC is O, and its orthocentre is M. Mark the points E and F on the lines of sides AC and AB, respectively, at distances of AO and AM from A. Prove that EF=AO.

(4 pont)

Deadline expired on 16 March 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A feladat sajnos pontatlanul került kitűzésre, az állítás nyilvánvalóan hamis, ha az A csúcsnál lévő \alpha szög tompaszög. A megoldás során feltesszük tehát, hogy nem ez a helyzet. Ha \alpha=90o, akkor M=A=F, és az állítás magától értetődő. Legyen tehát \alpha hegyesszög. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy a B csúcsnál is hegyesszög van, ekkor az M és C pontok az AB egyenesnek ugyanazon az oldalán helyezkednek el.

Ismeretes, hogy ekkor az M pontnak az AB szakaszra vett M' tükörképe a körülírt körre esik, amint arről egyszerű szögszámolással is meggyőződhetünk. Ezért a szinusz-tétel értelmében AF=AM=AM'=2Rsin (90o-\alpha)=2Rcos \alpha, ahol R=AO=AE a körülírt kör sugara. Megállapíthatjuk tehát, hogy AF=2AEcos \alpha. Az AEF háromszögre a koszinusz-tételt felírva

EF2=AE2+AF2-2AE.AFcos \alpha=AE2,

vagyis valóban EF=AE=AO.


Statistics:

46 students sent a solution.
4 points:Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Csere Kálmán, Éles András, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Vid, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
3 points:Balla Attila, Beke Lilla, Béres Ferenc, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Dinh Hoangthanh Attila, Egyed Zsombor, Győrfi 946 Mónika, Kiss Boldizsár, Korondi Zénó, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Milánkovich Dorottya, Morapitiye Sunil, Muszka Balázs, Németh 217 Balázs, Szabó 928 Attila, Szenczi Zoltán, Tóth Tekla, Török 999 Csaba, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Welsz Edit.
2 points:3 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley