Problem B. 4154. (February 2009)

B. 4154. This problem is a classic: A town is surrounded by a circular wall. There are 12 guards serving on the wall. At twelve noon, each guard leaves his watchpost and starts walking the wall in some direction, at a speed at which it would take exactly one hour to walk around the whole town. If two guards meet, they both turn around immediately and walk at the same speed in the opposite direction. Prove that at twelve midnight each guard will be back at his watchpost.

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Képzeljük el, hogy mindegyik őrnél van egy stafétabot, és valahányszor két őr találkozik, a náluk lévő stafétabotot kicserélik. Ha csak a stafétabotokat figyeljük, azt látjuk, hogy mindegyik stafétabot pontosan egy óra alatt megkerüli a várost. Ez azt jelenti, hogy egy óra elteltével mindegyik őrhelyen lesz egy stafétabot, tehát szükségképpen egy őr is. Elképzelhető, hogy az egyes őrök nem az eredeti helyükön lesznek, az azonban biztos, hogy ugyanolyan sorrendben követik egymást a várfalon, mint eredetileg. Vagyis egy óra elteltével az lesz a helyzet, hogy valamilyen körüljárási irányt rögzítve, minden egyes őr ugyanannyi őrhellyel arrébb kerül a várfalon a rögzített körüljárási irány szerint. Ezután minden egyes stafétabot ugyanabban a körüljárási irányban folytatja vándorlását, mint ahogy megkezdte, ezért újabb óra elteltével a stafétabotok ismét eredeti helyükön lesznek, az őrök pedig ugyanannyi hellyel kerülnek odébb a városfalon, mint az első óra után. Mivel 12 őrhely van, ha ez 12-szer egymás után megismétlődik, akkor minden őr visszakerül eredeti helyére.

Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bágyoni-Szabó Attila, Balla Attila, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bóra Eszter, Botos Csongor, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Czipó Bence, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss 991 Mátyás, Korondi Zénó, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Mezei Márk, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nagy 729 Krisztina, Nagy Róbert, Palincza Richárd, Perjési Gábor, Réti Dávid, Scharle András, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 124 Zsolt, Tubak Dániel, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zsakó András.
4 points:	3 students.
3 points:	6 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009