KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4155. (February 2009)

B. 4155. Solve the following equation:

a2b2+b2c2+c2a2+a2+b2+c2+4(a+b+c)+12=6abc+4(ab+bc+ca).

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Hozzuk az egyenletet (ab-c+2)2+(ac-b+2)2+(bc-a+2)2=0 alakra. Innen leolvasható, hogy a megoldásra ab-c+2=ac-b+2=bc-a+2=0 teljesül. Az első feltétel szerint ab-c=ac-b, vagyis (a+1)(b-c)=0, ahonnan a=-1 vagy b=c teljesül. Ugyanígy kapjuk, hogy ha a\neb, akkor c=-1, illetve a\nec esetén b=-1. Ha a három szám megegyezne, akkor mindhárom gyöke lenne az x2-x+2=0 egyenletnek, aminek azonban nincs valós gyöke. Ezért valamelyik szám különbözik a másik kettőtől. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy a\neb és a\nec. Ekkor b=c=-1, ahonnan végül a=3 adódik. Mivel ez a számhármas valóban kielégíti az egyenletet, annak három megoldása lesz: a1=3,b1=c1=-1, valamint a szerepek felcserélésével kapott b2=3,a2=c2=-1, illetve c3=3,a3=b3=-1.


Statistics:

54 students sent a solution.
5 points:Ambrits Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Botos Csongor, Csizmadia Luca, Czégel Dániel, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Gyarmati Máté, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 716 Eszter, Korondi Zénó, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 124 Zsolt, Szalai Zsófia, Szórádi Márk, Tóth Tekla, Vadon Viktória, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
4 points:Énekes Péter, Kovács 235 Gábor, Papp Márk Ádám, Zolcsák Zita.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
1 point:5 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley