Problem B. 4155. (February 2009)
B. 4155. Solve the following equation:
a2b2+b2c2+c2a2+a2+b2+c2+4(a+b+c)+12=6abc+4(ab+bc+ca).
(5 pont)
Deadline expired on March 16, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Hozzuk az egyenletet (ab-c+2)2+(ac-b+2)2+(bc-a+2)2=0 alakra. Innen leolvasható, hogy a megoldásra ab-c+2=ac-b+2=bc-a+2=0 teljesül. Az első feltétel szerint ab-c=ac-b, vagyis (a+1)(b-c)=0, ahonnan a=-1 vagy b=c teljesül. Ugyanígy kapjuk, hogy ha a
b, akkor c=-1, illetve ac esetén b=-1. Ha a három szám megegyezne, akkor mindhárom gyöke lenne az x2-x+2=0 egyenletnek, aminek azonban nincs valós gyöke. Ezért valamelyik szám különbözik a másik kettőtől. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy ab és ac. Ekkor b=c=-1, ahonnan végül a=3 adódik. Mivel ez a számhármas valóban kielégíti az egyenletet, annak három megoldása lesz: a1=3,b1=c1=-1, valamint a szerepek felcserélésével kapott b2=3,a2=c2=-1, illetve c3=3,a3=b3=-1.
Statistics:
54 students sent a solution. 5 points: Ambrits Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Botos Csongor, Csizmadia Luca, Czégel Dániel, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Gyarmati Máté, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 716 Eszter, Korondi Zénó, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 124 Zsolt, Szalai Zsófia, Szórádi Márk, Tóth Tekla, Vadon Viktória, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Zelena Réka. 4 points: Énekes Péter, Kovács 235 Gábor, Papp Márk Ádám, Zolcsák Zita. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009