Problem B. 4157. (February 2009)

B. 4157. Solve the following equation: [x]=x⁴-2x². [x] denotes the greatest integer that is not greater than x.

Based on a competition problem from Transsylvania

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha x megoldása az egyenletnek, akkor x törtrészére

0 $\le$ {x}=x-[x]=x+2x²-x⁴<1

teljesül. Azonban |x| $\ge$ 2 esetén x<2x² miatt x+2x²<4x² $\le$ x⁴. Ezért -2<x<2, vagyis [x] $\in$ {-2,-1,0,1}. Az első esetben az egyenlet x⁴-2x²=-2, (x²-1)²=-1 alakba írható, aminek nincsen valós megoldása. A második esetben (x²-1)²=0, x²=1, amit az [x]=-1 feltétellel egybevetve x=-1 adódik. A harmadik esetben x⁴-2x²=0, ahonnan x=0 vagy $x=\pm\sqrt{2}$ adódik, az utóbbi kettő azonban nem felel meg az [x]=0 feltételnek. Végül a negyedik esetben (x²-1)²=2, $x^2=1\pm\sqrt{2}$ adódik. Ebből csak $x^2=1+\sqrt{2}$ jöhet szóba, az [x]=1 feltételt is figyelembe véve innen $x=\sqrt{1+\sqrt{2}}$ adódik. Az egyenletnek tehát három megoldása van: -1, 0, illetve $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ .

Statistics:

131 students sent a solution.

4 points: Ágoston Tamás, Bali Gábor, Balla Attila, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bóra Eszter, Damásdi Gábor, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Fonai Dániel, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Horváth Dániel, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Klincsik Gergely, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márkus Bence, Mester Márton, Mezei Márk, Muszka Balázs, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Prok Tamás, Rábai Domonkos, Réti Dávid, Scharle András, Strenner Péter, Szalai Zsófia, Szenczi Zoltán, Szepcsik Áron, Ta Phuong Linh, Tóth 222 Barnabás, Tóth Teodóra, Varga 009 Bálint, Varga 171 László, Vécsey Máté, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Zsakó András.

3 points: 34 students.

2 points: 24 students.

1 point: 16 students.

0 point: 7 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009

131 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Bali Gábor, Balla Attila, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bóra Eszter, Damásdi Gábor, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Fonai Dániel, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Horváth Dániel, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Klincsik Gergely, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márkus Bence, Mester Márton, Mezei Márk, Muszka Balázs, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Prok Tamás, Rábai Domonkos, Réti Dávid, Scharle András, Strenner Péter, Szalai Zsófia, Szenczi Zoltán, Szepcsik Áron, Ta Phuong Linh, Tóth 222 Barnabás, Tóth Teodóra, Varga 009 Bálint, Varga 171 László, Vécsey Máté, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Zsakó András.
3 points:	34 students.
2 points:	24 students.
1 point:	16 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?