Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4158. (February 2009)

B. 4158. The midpoint of the line segment AB on the face ABCD of a cube is F. The cube is cut into two parts with a plane passing through the line segment CF, such that the ratio of the volumes of the parts containing B and D, respectively, is 1:2. Find the angle enclosed between the plane and the face ABCD.

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A kocka fedőlapja legyen XYZV az ábrán látható módon, az XY és ZV élek felezőpontja pedig E, illetve G. Ekkor az EZ szakasz párhuzamos az FC szakasszal, az F,C,E és Z pontokon áthaladó sík által levágott FBCEYZ hasáb térfogata pedig nyilván egynegyede a kocka térfogatának. Nyilván az XG szakasz is párhuzamos az FC szakasszal, az F,C,X és G pontokon áthaladó sík pedig szimmetria okok miatt felezi a kocka térfogatát. Az FEXCZG háromszög alapú ferde hasáb térfogata ezek szerint szintén egynegyede a kocka térfogatának. A metsző síkkal ennek a hasábnak a térfogatát is 1:2 arányban kell felosztanunk, vagyis annak az XE szakasz E-hez közelebbi H harmadolópontján (és a GZ szakasz Z-hez közelebbi J harmadolópontján) kell áthaladnia.

Vegyünk fel egy derékszögű (x;y;z) koordinátarendszert, melynek középpontja az A csúcs, a B,D,X csúcsok koordinátái pedig rendre B(1;0;0), D(0;1;0) és X(0;0;1). A z=0 egyenletű ABCD síkra merőleges u=(0;0;1) és az x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}z=\frac{1}{2} egyenletű FCJH síkra merőleges {\bf v}=(1;-\frac{1}{2};\frac{1}{6}) vektorok \varphi szögét a skaláris szorzás segítségével a

\cos\varphi=\frac{{\bf u}\cdot{\bf v}}{|{\bf u}|\cdot|{\bf v}|}=
\frac{0\cdot 1-0\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1\cdot
\frac{1}{6}}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot
\sqrt{1^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2}}=
\frac{1}{\sqrt{46}}

képlet határozza meg. Innen \varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt{46}}
\approx81,5^\circ, ennyi a két sík hajlásszöge is.


Statistics:

60 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Böőr Katalin, Csizmadia Luca, Deák Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márki Róbert, Márkus Bence, Matyuska Péter, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Németh 217 Balázs, Perjési Gábor, Rácz Zoltán, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Varga 171 László.
4 points:Nagy 729 Krisztina, Prok Tamás, Scharle András, Szenczi Zoltán, Weisz Ágoston.
3 points:5 students.
2 points:13 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009