Problem B. 4160. (February 2009)

B. 4160. Is there a bounded set of points in the plane that has infinitely many axes of symmetry but is not centrally symmetric?

Suggested by L. Pósa

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Létezik ilyen ponthalmaz. Tekintsük ugyanis a derékszögű koordinátarendszerben a P_x=(cos x;sin x) pontokat, ezek éppen az O origó körüli egység sugarú körvonal pontjai. P_x=P_y pontosan akkor teljesül, ha az x-y szám 2 $\pi$ -nek egész számú többszöröse. Álljon K a körvonal azon P_x pontjaiból, amelyekre x egész szám. Kihasználva a $\pi$ szám irracionális voltát láthatjuk, hogy ezek a pontok páronként különbözők, továbbá P_x $\in$ K esetén $P_{x+\pi}\not\in K$ . Ezért ha x,y különböző egész számok, akkor a t_x=OP_x és t_y=OP_y egyenesek is különbözők. Minden x egész számra a t_x egyenes szimmetriatengelye a korlátos K halmaznak: a P_y pont tükörképe éppen P_2x-y. A K halmaznak tehát végtelen sok szimmetriatengelye van. Tegyük fel, hogy K középpontosan szimmetrikus az S pontra. Ekkor K minden pontja egyben annak a körnek is pontja, melyet az egységkörből úgy kapunk meg, hogy azt S-re tükrözzük. Mivel két különböző körnek legfeljebb két közös pontja lehet, K-nak pedig végtelen sok különböző pontja van, a két kör egybe kell, hogy essen, vagyis S=O. Azt viszont már láttuk, hogy K nem lehet középpontosan szimmetrikus O-ra, hiszen $P_\pi\not\in K$ . Ezért a K halmaz minden feltételnek eleget tesz.

Statistics:

60 students sent a solution.

5 points: Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 716 Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss 991 Mátyás, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Márki Róbert, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szabó 124 Zsolt, Tubak Dániel, Varga 171 László, Vörös Tamás, Weisz Ágoston.

4 points: Dudás 002 Zsolt, Fónagy 092 Fanni, Kunos Vid, Major Péter, Márkus Bence, Nagy Róbert, Palincza Richárd, Prok Tamás, Rácz Zoltán, Szabó 928 Attila, Zelena Réka.

3 points: 6 students.

1 point: 1 student.

0 point: 5 students.

Unfair, not evaluated: 3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009

60 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 716 Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss 991 Mátyás, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Márki Róbert, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szabó 124 Zsolt, Tubak Dániel, Varga 171 László, Vörös Tamás, Weisz Ágoston.
4 points:	Dudás 002 Zsolt, Fónagy 092 Fanni, Kunos Vid, Major Péter, Márkus Bence, Nagy Róbert, Palincza Richárd, Prok Tamás, Rácz Zoltán, Szabó 928 Attila, Zelena Réka.
3 points:	6 students.
1 point:	1 student.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?