KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4161. Assume that a set S obtained by leaving a finite number of positive elements out of the set of natural numbers is closed under addition. Let k be an element of S. If k is subtracted from each element of S, in how many cases will the result not belong to S?

(3 points)

Deadline expired on 16 March 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Tekintsük x=0,1,2,\ldots,k-1 esetén az S_x=S\cap\{x,x+k,x+2k,\ldots\} halmazt, ezek egyike sem lehet üres. Rögzített x esetén legyen sx=x+ik az Sx halmaz legkisebb eleme, nyilván s_x-k\not\in S. Azonban k\inS miatt sx+k\inS, és általában, ha sx+jk\inS, akkor sx+(j+1)k\inS, vagyis S_x=\{s_x,s_x+k,s_x+2k,\ldots\}. Ezért sx\ney\inSx esetén y-k\inSx\subsetS, tehát minden egyes Sx halmaz S-nek pontosan egy olyan elemét tartalmazza, amelyből k-t kivonva S-hez nem tartozó számot kapunk. Mivel S a páronként diszjunkt Sx halmazok egyesítése, a szóban forgó elemek száma éppen k.


Statistics on problem B. 4161.
27 students sent a solution.
3 points:Balla Attila, Baranyai Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Korondi Zénó, Kunos Vid, Matyuska Péter, Mészáros András, Nguyen Milán, Szabó 928 Attila, Zsakó András.
2 points:Lajos Mátyás.
1 point:1 student.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley