Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4161. (February 2009)

B. 4161. Assume that a set S obtained by leaving a finite number of positive elements out of the set of natural numbers is closed under addition. Let k be an element of S. If k is subtracted from each element of S, in how many cases will the result not belong to S?

(3 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tekintsük x=0,1,2,\ldots,k-1 esetén az S_x=S\cap\{x,x+k,x+2k,\ldots\} halmazt, ezek egyike sem lehet üres. Rögzített x esetén legyen sx=x+ik az Sx halmaz legkisebb eleme, nyilván s_x-k\not\in S. Azonban k\inS miatt sx+k\inS, és általában, ha sx+jk\inS, akkor sx+(j+1)k\inS, vagyis S_x=\{s_x,s_x+k,s_x+2k,\ldots\}. Ezért sx\ney\inSx esetén y-k\inSx\subsetS, tehát minden egyes Sx halmaz S-nek pontosan egy olyan elemét tartalmazza, amelyből k-t kivonva S-hez nem tartozó számot kapunk. Mivel S a páronként diszjunkt Sx halmazok egyesítése, a szóban forgó elemek száma éppen k.


Statistics:

27 students sent a solution.
3 points:Balla Attila, Baranyai Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Korondi Zénó, Kunos Vid, Matyuska Péter, Mészáros András, Nguyen Milán, Szabó 928 Attila, Zsakó András.
2 points:Lajos Mátyás.
1 point:1 student.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009