KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4162. 60 bars of chocolate are distributed among a class of 30 students. Everyone gets at least one but no one gets 31 bars. Prove that it is possible to select a group of students who received a total of exactly 30 bars of chocolate together.

(4 points)

Deadline expired on 15 April 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az osztály egyes tagjai által kapott csokik számát jelölje nem növekvő sorrendben a1,a2,...,a30. A feltételek szerint tehát

1\le a_{30}\le a_{29}\le \ldots\le a_{1}\le 30,
\quad a_1+a_2+\ldots+a_{30}=60.

Azt kell belátni, hogy az ai számok közül kiválasztható néhány úgy, hogy az összegük 30. Ez nyilvánvaló, ha mindegyik szám 2. Tegyük fel ennek megfelelően, hogy a30=1. Jelölje k a legkisebb olyan számot, amelyre teljesül, hogy az ai számok közül a k legnagyobb összege nagyobb, mint 30. Más szóval, k azt a 2 és 30 közé eső számot jelöli, amelyre

S_{k-1}=a_1+a_2+\ldots+a_{k-1}\le 30,\quad 
S_k=a_1+a_2+\ldots+a_k\ge 31.

Az a_{k+1},\ldots,a_{30} számok közül, melyek összege legfeljebb 29, az 1-esek számát jelölje x. A fennmaradó 30-k-x szám mindegyike legalább 2, ezért x+2(30-k-x)\le29, ahonnan x\ge31-2k adódik. A monotonitási feltétel miatt kak\leSk, ahonnan

S_{k-1}=S_k-a_k\ge\frac{k-1}{k}S_k\ge 31-\frac{31}{k}

adódik. Ezért 2\lek\le14 esetén

0\le 30-S_{k-1}\le \frac{31}{k}-1<31-2k\le x,

vagyis a_1,a_2,\ldots,a_{k-1} a fennmaradó számok közül megfelelő számú 1-essel kiegészítve megfelelő lesz. Ha k\ge15, akkor vegyük figyelembe azt is, hogy 30-Sk-1 egész szám. Így a fenti becslés továbbra is érvényes első fele, valamint az a30=1 feltevés alapján 30-Sk-1\le1\lex adódik, tehát a bizonyítást ugyanúgy befejezhetjük, mint az előbb.


Statistics on problem B. 4162.
74 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Barczel Nikolett, Beke Lilla, Bóra Eszter, Bősze Zsuzsanna, Csizmadia Luca, Czeller Ildikó, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Hoksza Zsolt, Horowitz Gábor, Janosov Milán, Janzer Olivér, Keresztfalvi Tibor, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Korondi Zénó, Kovács 729 Gergely, Kovács 999 Noémi, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szórádi Márk, Tuan Nhat Le, Tubak Dániel, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zsakó András.
3 points:Balla Attila, Botos Csongor, Welsz Edit.
2 points:8 students.
1 point:9 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley