A B. 4163. feladat (2009. március)

B. 4163. 5×10×20 cm élhosszúságú téglákból hézagmentesen felépítünk egy téglatestet. Igazoljuk, hogy ugyanezt úgy is felépíthetjük ezekből a téglákból, hogy azonos hosszúságú éleik mind párhuzamosak legyenek.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Vegyük az 5 cm-t egységnek, és tegyük fel, hogy egy téglatestet kiraktunk 1×2×4-es kis téglákból. Nyilván minden kis tégla élei párhuzamosak a téglatest éleivel, melyek hossza egész szám kell legyen. A kis téglák oldallapjainak területe páros és a téglatest minden oldallapja ilyen téglalapokból van kirakva, ezért a téglatest minden oldallapjának területe is páros. A téglatestnek tehát nem lehet két páratlan hosszúságú éle. Ha megmutatjuk, hogy valamelyik él hossza 4-gyel is osztható, akkor már világos, hogy a kis téglákat el tudjuk helyezni egymással megegyező állásban úgy, hogy kitöltsék a téglatestet.

Tegyük fel, hogy ez nem igaz. Mivel mindegyik kis tégla térfogata 8, a téglatest térfogata is osztható kell legyen 8-cal. Ez csak úgy lehet, ha mindhárom él hossza páros szám, vagyis az élek hossza 2a,2b,2c alakban írható alkalmas a,b,c páratlan számokkal. Bontsuk fel a téglát egységkockákra. Az egyik sarokban álló egységkockát fessük feketére, a vele lapban, élben vagy csúcsban érintkező 7 kis kockát pedig fehérre, majd ezt a színezést terjesszük ki periodikusan az egész téglatestre. Ekkor a feketére festett kockák száma abc, vagyis páratlan szám. Másrészt viszont könnyen ellenőrizhetjük, hogy a felbontásban szereplő kis téglák közül bármelyik 0 vagy 2, tehát páros számú fekete kockát tartalmaz. Ezért a téglatestben is páros sok fekete kockának kell lennie. Ez az ellentmondás igazolja az állítást.

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Korondi Zénó, Lenger Dániel, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László.
3 pontot kapott:	Balla Attila, Béres Ferenc, Dudás 002 Zsolt, Janosov Milán, Kiss Boldizsár, Lovas Lia Izabella, Strenner Péter, Szenczi Zoltán, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai