KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4164. (March 2009)

B. 4164. Prove that if a triangle can be constructed from every three line segments selected out of a set of 5, then there exist three line segments in the set that form an acute-angled triangle.

(3 pont)

Deadline expired on 15 April 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az x\ley\lez oldalakkal bíró háromszög pontosan akkor hegyesszögű, ha x2+y2>z2 teljesül, amiről például a koszinusz-tétel segítségével könnyen meggyőződhetünk. Ha tehát az a\leb\lec\led\lee szakaszok közül semelyik háromból szerkesztett háromszög nem lenne hegyesszögű, akkor a2+b2\lec2, b2+c2\led2, c2+d2\lee2 miatt

e2\ged2+c2\ge2c2+b2\ge3b2+2a2\geb2+2ab+2a2>(a+b)2,

vagyis e>a+b lenne, ami ellentmondana a háromszög-egyenlőtlenségnek.

Megjegyzés: Négy szakaszt azonban könnyen megadhatunk, legyen például a=1, b=\sqrt{2}, c=\sqrt{3}, d=\sqrt{5}.


Statistics:

74 students sent a solution.
3 points:64 students.
2 points:3 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley