Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4164. feladat (2009. március)

B. 4164. Igazoljuk, hogy ha öt szakasz közül bármelyik háromból háromszög szerkeszthető, akkor létezik három olyan is köztük, amelyekből hegyesszögű háromszög szerkeszthető.

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az x $\le$ y $\le$ z oldalakkal bíró háromszög pontosan akkor hegyesszögű, ha x²+y²>z² teljesül, amiről például a koszinusz-tétel segítségével könnyen meggyőződhetünk. Ha tehát az a $\le$ b $\le$ c $\le$ d $\le$ e szakaszok közül semelyik háromból szerkesztett háromszög nem lenne hegyesszögű, akkor a²+b² $\le$ c², b²+c² $\le$ d², c²+d² $\le$ e² miatt

e² $\ge$ d²+c² $\ge$ 2c²+b² $\ge$ 3b²+2a² $\ge$ b²+2ab+2a²>(a+b)²,

vagyis e>a+b lenne, ami ellentmondana a háromszög-egyenlőtlenségnek.

Megjegyzés: Négy szakaszt azonban könnyen megadhatunk, legyen például a=1, $b=\sqrt{2}$ , $c=\sqrt{3}$ , $d=\sqrt{5}$ .

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 64 versenyző.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 5 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai

74 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	64 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.