KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4165. The diagonals of a convex quadrilateral ABCD intersect at O. Prove that AB2+BC2+CD2+DA2=2(AO2+BO2+CO2+DO2) is true if and only if the diagonals AC and BD are perpendicular or one of them has its midpoint at O.

Kvant

(3 points)

Deadline expired on 15 April 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az O pontból a négyszög csúcsaiba mutató vektorokat jelölje értelemszerűen a,b,c,d. A vektorok skaláris szorzatát használva a szóban forgó összefüggést

(b-a)2+(c-b)2+(d-c)2+(a-d)2=2(a2+b2+c2+d2)

alakban írhatjuk fel, ami ekvivalens az ab+bc+cd+da=0, vagy másképpen az (a+c)(b+d)=0 összefüggéssel. Ez pedig azt jelenti, hogy vagy a+c=0, vagyis c=-a, tehát O az AC átló felezőpontja, vagy b+d=0, tehát O a BD átló felezőpontja, vagy pedig az AC átlóval párhuzamos nemnulla a+c vektor merőleges a BD átlóval párhuzamos nemnulla b+d vektorra.


Statistics on problem B. 4165.
103 students sent a solution.
3 points:91 students.
2 points:3 students.
1 point:6 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley