B. 4165. Egy konvex ABCD négyszög átlóinak metszéspontja O. Bizonyítsuk be, hogy az AB²+BC²+CD²+DA²=2(AO²+BO²+CO²+DO²) összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha az AC és BD átlók merőlegesek, vagy ha egyiküknek a felezőpontja O.

Kvant

(3 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

Megoldás: Az O pontból a négyszög csúcsaiba mutató vektorokat jelölje értelemszerűen a,b,c,d. A vektorok skaláris szorzatát használva a szóban forgó összefüggést

(b-a)²+(c-b)²+(d-c)²+(a-d)²=2(a²+b²+c²+d²)

alakban írhatjuk fel, ami ekvivalens az ab+bc+cd+da=0, vagy másképpen az (a+c)(b+d)=0 összefüggéssel. Ez pedig azt jelenti, hogy vagy a+c=0, vagyis c=-a, tehát O az AC átló felezőpontja, vagy b+d=0, tehát O a BD átló felezőpontja, vagy pedig az AC átlóval párhuzamos nemnulla a+c vektor merőleges a BD átlóval párhuzamos nemnulla b+d vektorra.

A B. 4165. feladat statisztikája 103 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 91 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.