KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4165. Egy konvex ABCD négyszög átlóinak metszéspontja O. Bizonyítsuk be, hogy az AB2+BC2+CD2+DA2=2(AO2+BO2+CO2+DO2) összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha az AC és BD átlók merőlegesek, vagy ha egyiküknek a felezőpontja O.

Kvant

(3 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás: Az O pontból a négyszög csúcsaiba mutató vektorokat jelölje értelemszerűen a,b,c,d. A vektorok skaláris szorzatát használva a szóban forgó összefüggést

(b-a)2+(c-b)2+(d-c)2+(a-d)2=2(a2+b2+c2+d2)

alakban írhatjuk fel, ami ekvivalens az ab+bc+cd+da=0, vagy másképpen az (a+c)(b+d)=0 összefüggéssel. Ez pedig azt jelenti, hogy vagy a+c=0, vagyis c=-a, tehát O az AC átló felezőpontja, vagy b+d=0, tehát O a BD átló felezőpontja, vagy pedig az AC átlóval párhuzamos nemnulla a+c vektor merőleges a BD átlóval párhuzamos nemnulla b+d vektorra.


A B. 4165. feladat statisztikája
103 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:91 versenyz .
2 pontot kapott:3 versenyz .
1 pontot kapott:6 versenyz .
0 pontot kapott:1 versenyz .
Nem versenyszer :2 dolgozat.


  • A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap