A B. 4166. feladat (2009. március)

B. 4166. Szerkesszünk az ABC háromszög BC oldalán olyan D pontot, amelyre az ABD és az ACD háromszögek beírt körei az AD egyenesen érintik egymást.

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy a beírt körök az AD szakaszt az E_B, illetve E_C pontban érintik. Ekkor

A két érintési pont pontosan akkor esik egybe, ha BD-CD=AB-AC. A BD+CD=BC feltétel miatt ez ekvivalens azzal, hogy BD=(AB+BC-AC)/2. A háromszög-egyenlőtlenség miatt ez a mennyiség pozitív, de kisebb, mint BC. Minden esetben található tehát a BC oldalon pontosan egy megfelelő D pont, melynek megszerkesztése a fentiek alapján magától értetődő módon történik.

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Bősze Zsuzsanna, Czeller Ildikó, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Hegedűs Csaba, Horváth 606 Roland, Kiss 232 Dóra, Klenk 191 Blanka, Kovács 235 Gábor, Kovács 888 Adrienn, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Mészáros András, Németh 217 Balázs, Rácz Zoltán, Somogyi Ákos, Varju 105 Tamás.
2 pontot kapott:	42 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai