KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4167. For every positive integer n, let f(n) denote the number obtained by reversing the order of digits in the decimal form of n. (For example, f(2500)=52, f(1456)=6541.) Find all positive integers k, such that for any multiple n of k, k also divides the number f(n).

(5 points)

Deadline expired on 15 April 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A keresett számokat nevezzük röviden nak. Tegyük fel, hogy k jó. Ekkor k<10m teljesül alkalmas m pozitív egész számmal, vagyis k-nak van olyan n többszöröse, amelyre 10m\len<2.10m. Erre az n számra f(n) utolsó jegye 1-es, vagyis f(n) nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel. Ezért a k szám relatív prím a 10-hez. Az Euler-Fermat tétel szerint a t=\varphi(9k)\ge6 szám olyan, hogy 10t-1 osztható 9k-val, vagyis k osztója nemcsak a 10t-1 számnak, de a t-jegyű csupa 1-esből álló K számnak is. Tehát

k\mid 19K= 20K-K=\underbrace{22\ldots2}_t0-\underbrace{11\ldots1}_t
=2\underbrace{11\ldots1}_{t-2}09,

ahonnan

k\mid f(19K)=90\underbrace{11\ldots1}_{t-2}2

adódik. Innen

k\mid L=f(19K)-80K=90\underbrace{11\ldots1}_{t-2}2-
\underbrace{88\ldots8}_t0=1\underbrace{22\ldots2}_{t-3}32,

majd

k\mid 2K-L=\underbrace{22\ldots2}_t-1\underbrace{22\ldots2}_{t-3}32=
10^{t-1}-10

következik. Mindent összevetve kapjuk, hogy

k\mid (10^t-1)-10(10^{t-1}-10)=99,

vagyis k lehetséges értékei 1, 3, 9, 11, 33 és 99. A 3-as, 9-es és 11-es oszthatósági szabályok ismeretében könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ezen hat szám mindegyike valóban jó.


Statistics on problem B. 4167.
28 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Huszár Kristóf, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Tuan Nhat Le, Varga 171 László.
4 points:Barczel Nikolett, Nagy 111 Miklós.
3 points:1 student.
2 points:8 students.
1 point:5 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley