Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4167. (March 2009)

B. 4167. For every positive integer n, let f(n) denote the number obtained by reversing the order of digits in the decimal form of n. (For example, f(2500)=52, f(1456)=6541.) Find all positive integers k, such that for any multiple n of k, k also divides the number f(n).

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A keresett számokat nevezzük röviden jónak. Tegyük fel, hogy k jó. Ekkor k<10m teljesül alkalmas m pozitív egész számmal, vagyis k-nak van olyan n többszöröse, amelyre 10m\len<2.10m. Erre az n számra f(n) utolsó jegye 1-es, vagyis f(n) nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel. Ezért a k szám relatív prím a 10-hez. Az Euler-Fermat tétel szerint a t=\varphi(9k)\ge6 szám olyan, hogy 10t-1 osztható 9k-val, vagyis k osztója nemcsak a 10t-1 számnak, de a t-jegyű csupa 1-esből álló K számnak is. Tehát

k\mid 19K= 20K-K=\underbrace{22\ldots2}_t0-\underbrace{11\ldots1}_t =2\underbrace{11\ldots1}_{t-2}09,

ahonnan

k\mid f(19K)=90\underbrace{11\ldots1}_{t-2}2

adódik. Innen

k\mid L=f(19K)-80K=90\underbrace{11\ldots1}_{t-2}2- \underbrace{88\ldots8}_t0=1\underbrace{22\ldots2}_{t-3}32,

majd

k\mid 2K-L=\underbrace{22\ldots2}_t-1\underbrace{22\ldots2}_{t-3}32= 10^{t-1}-10

következik. Mindent összevetve kapjuk, hogy

k\mid (10^t-1)-10(10^{t-1}-10)=99,

vagyis k lehetséges értékei 1, 3, 9, 11, 33 és 99. A 3-as, 9-es és 11-es oszthatósági szabályok ismeretében könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ezen hat szám mindegyike valóban jó.

Statistics:

28 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Huszár Kristóf, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Tuan Nhat Le, Varga 171 László.
4 points:Barczel Nikolett, Nagy 111 Miklós.
3 points:1 student.
2 points:8 students.
1 point:5 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009