Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4168. (March 2009)

B. 4168. The centre of the inscribed circle of triangle ABC is K, the midpoint of side AB is F, and the point of tangency of the escribed circle on side AB is G. Prove that the lines CG and KF are parallel.

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: AC=BC esetén a két egyenes egybeesik, egyébként pedig szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy BC>AC. A párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján elég annyit megmutatni, hogy CX:KX=GX:FX, ahol X a CK egyenesnek, vagyis a C-ből induló szögfelezőnek az AB oldallal alkotott metszéspontja. A szokásos jelöléseket használva 2t=cmc=r(a+b+c) miatt

\frac{CX}{KX}=\frac{m_c}{r}=\frac{a+b+c}{c}.

Másrészt a szögfelező-tétel alapján

FX=BX-BF=\frac{a}{a+b}\cdot c-\frac{c}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{c}{2}

és

GX=BX-BG=\frac{a}{a+b}\cdot c-(s-a)=\frac{2ac-(a+b)(b+c-a)}{2(a+b)}=
\frac{(a+b+c)(a-b)}{2(a+b)},

vagyis valóban

\frac{GX}{FX}=\frac{a+b+c}{c}=\frac{CX}{KX}.


Statistics:

46 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Beke Lilla, Bicskei Dávid, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Damásdi Gábor, Dunay Luca, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Győrfi 946 Mónika, Janosov Milán, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 123 Balázs, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Tóth Tekla, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 points:Kiss Boldizsár, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Szenczi Zoltán.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009