KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4169. (March 2009)

B. 4169. Prove that if a, b, c are pairwise distinct positive integers then

S=(42a+43b+43c)3+(43a+42b+43c)3+(43a+43b+42c)3

-3(42a+43b+43c)(43a+42b+43c)(43a+43b+42c)

is divisible by 128 but is not a perfect power of 2.

Suggested by D. Nagy

(5 pont)

Deadline expired on 15 April 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen x=42a+43b+43c, y=43a+42b+43c és z=43a+43b+42c. Ekkor x-y=b-a, x-z=c-a és y-z=c-b miatt x,y,z páronként különböző pozitív egészek, melyek összege x+y+z=128(a+b+c) osztható 128-cal. Ekkor

S=x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)=

=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)

is nyilván osztható 128-cal. Ha ez a szám 2-hatvány akkor az x,y,z számok d legnagyobb közös osztója is 2-hatvány. Az r=x/d,s=y/d,v=z/d jelöléssel

S/d3=(r+s+v)(r2+s2+v2-rs-sv-vr)

is 2-hatvány, az r,s,v páronként különböző pozitív egészeknek pedig nincsen egynél nagyobb közös osztója. Mivel r+s+v egynél nagyobb 2-hatvány, az r,s,v számok közül egy páros, kettő pedig páratlan. Ezért a másik tényező páratlan 2-hatvány, vagyis

r2+s2+v2-rs-sv-vr=1,  (r-s)2+(s-v)2+(v-r)2=2.

Ez azonban ellentmond annak, hogy r,s,v páronként különböző egész számok.


Statistics:

77 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Jernei Tamás, Kiss 902 Melinda Flóra, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Mester Márton, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Szenczi Zoltán, Szórádi Márk, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:Bali Gábor, Bálint Dániel, Dinh Hoangthanh Attila, Énekes Péter, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Huszár Kristóf, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Nagy 111 Miklós, Németh Bence, Réti Dávid, Szabó 928 Attila, Vajk Dóra, Vuchetich Bálint, Zelena Réka, Zsakó András.
3 points:12 students.
2 points:19 students.
1 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley