Problem B. 4169. (March 2009)
B. 4169. Prove that if a, b, c are pairwise distinct positive integers then
S=(42a+43b+43c)3+(43a+42b+43c)3+(43a+43b+42c)3
-3(42a+43b+43c)(43a+42b+43c)(43a+43b+42c)
is divisible by 128 but is not a perfect power of 2.
Suggested by D. Nagy
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyen x=42a+43b+43c, y=43a+42b+43c és z=43a+43b+42c. Ekkor x-y=b-a, x-z=c-a és y-z=c-b miatt x,y,z páronként különböző pozitív egészek, melyek összege x+y+z=128(a+b+c) osztható 128-cal. Ekkor
S=x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)=
=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
is nyilván osztható 128-cal. Ha ez a szám 2-hatvány akkor az x,y,z számok d legnagyobb közös osztója is 2-hatvány. Az r=x/d,s=y/d,v=z/d jelöléssel
S/d3=(r+s+v)(r2+s2+v2-rs-sv-vr)
is 2-hatvány, az r,s,v páronként különböző pozitív egészeknek pedig nincsen egynél nagyobb közös osztója. Mivel r+s+v egynél nagyobb 2-hatvány, az r,s,v számok közül egy páros, kettő pedig páratlan. Ezért a másik tényező páratlan 2-hatvány, vagyis
r2+s2+v2-rs-sv-vr=1, (r-s)2+(s-v)2+(v-r)2=2.
Ez azonban ellentmond annak, hogy r,s,v páronként különböző egész számok.
Statistics:
76 students sent a solution. 5 points: Ágoston Tamás, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Jernei Tamás, Kiss 902 Melinda Flóra, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Mester Márton, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Szenczi Zoltán, Szórádi Márk, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Weisz Gellért. 4 points: Bali Gábor, Bálint Dániel, Dinh Hoangthanh Attila, Énekes Péter, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Huszár Kristóf, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Nagy 111 Miklós, Németh Bence, Réti Dávid, Szabó 928 Attila, Vajk Dóra, Vuchetich Bálint, Zelena Réka, Zsakó András. 3 points: 12 students. 2 points: 18 students. 1 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009