KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4169. Prove that if a, b, c are pairwise distinct positive integers then

S=(42a+43b+43c)3+(43a+42b+43c)3+(43a+43b+42c)3

-3(42a+43b+43c)(43a+42b+43c)(43a+43b+42c)

is divisible by 128 but is not a perfect power of 2.

Suggested by D. Nagy

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyen x=42a+43b+43c, y=43a+42b+43c és z=43a+43b+42c. Ekkor x-y=b-a, x-z=c-a és y-z=c-b miatt x,y,z páronként különböző pozitív egészek, melyek összege x+y+z=128(a+b+c) osztható 128-cal. Ekkor

S=x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)=

=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)

is nyilván osztható 128-cal. Ha ez a szám 2-hatvány akkor az x,y,z számok d legnagyobb közös osztója is 2-hatvány. Az r=x/d,s=y/d,v=z/d jelöléssel

S/d3=(r+s+v)(r2+s2+v2-rs-sv-vr)

is 2-hatvány, az r,s,v páronként különböző pozitív egészeknek pedig nincsen egynél nagyobb közös osztója. Mivel r+s+v egynél nagyobb 2-hatvány, az r,s,v számok közül egy páros, kettő pedig páratlan. Ezért a másik tényező páratlan 2-hatvány, vagyis

r2+s2+v2-rs-sv-vr=1,  (r-s)2+(s-v)2+(v-r)2=2.

Ez azonban ellentmond annak, hogy r,s,v páronként különböző egész számok.


Statistics on problem B. 4169.
77 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Jernei Tamás, Kiss 902 Melinda Flóra, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Mester Márton, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Szenczi Zoltán, Szórádi Márk, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:Bali Gábor, Bálint Dániel, Dinh Hoangthanh Attila, Énekes Péter, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Huszár Kristóf, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Nagy 111 Miklós, Németh Bence, Réti Dávid, Szabó 928 Attila, Vajk Dóra, Vuchetich Bálint, Zelena Réka, Zsakó András.
3 points:12 students.
2 points:19 students.
1 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program