Problem B. 4170. (March 2009)

B. 4170. A plane intersects the edges AB, BC, CD and AD of a tetrahedron ABCD at points K, L, M and N, respectively. Prove that $\frac{AK}{AB} \cdot \frac{BL}{BC} \cdot \frac{CM}{CD} \cdot \frac{DN}{AD} \le \frac{1}{16}$ .

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A csúcsoknak a síktól vett távolságát jelölje rendre értelemszerűen d_A,d_B,d_C,d_D. Ekkor

$\frac{BK}{AK}\cdot\frac{CL}{BL}\cdot\frac{DM}{CM}\cdot\frac{AN}{DN}= \frac{d_B}{d_A}\cdot\frac{d_C}{d_B} \cdot\frac{d_D}{d_C}\cdot\frac{d_A}{d_D}=1.$

Ezért

$\frac{AB}{AK}\cdot\frac{BC}{BL}\cdot\frac{CD}{CM}\cdot\frac{DA}{DN}= \left(1+\frac{BK}{AK}\right)\left(1+\frac{CL}{BL}\right) \left(1+\frac{DM}{CM}\right)\left(1+\frac{AN}{DN}\right)$

miatt elég azt megmutatni, hogy ha az a,b,c,d pozitív számok szorzata 1, akkor (1+a)(1+b)(1+c)(1+d) $\ge$ 16. A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenségek alapján azonban

$a+b+c+d\ge 4\root{4}\of{abcd}=4,$

ab+ac+ad+bc+bd+cd $\ge$ 6,

abc+abd+acd+bcd $\ge$ 4.

Ezek összegéhez a nyilvánvaló 1+abcd $\ge$ 2 egyenlőtlenséget is hozzáadva kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget. Mivel ebben egyenlőség kizárólag az a=b=c=d=1 esetben áll fenn, az eredeti feladatban is csak akkor érvényes egyenlőség, ha a K,L,M,N pontok a megfelelő élek felezőpontjai (melyek valóban egy síkban helyezkednek el).

Statistics:

27 students sent a solution.

5 points: Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Németh Bence, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston.

4 points: Bálint Dániel, Éles András, Neukirchner Elisabeth, Szenczi Zoltán.

3 points: 2 students.

1 point: 1 student.

0 point: 1 student.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009

27 students sent a solution.
5 points:	Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Németh Bence, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston.
4 points:	Bálint Dániel, Éles András, Neukirchner Elisabeth, Szenczi Zoltán.
3 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?