Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4171. (March 2009)

B. 4171. In every second, the probability that a certain bacterium will die is p and the probability that it will divide into two identical bacteria is 1-p. (The offsprings will die or divide independently of each other.) What is the probability of extinction?

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha p=1, akkor a baktérium 1 valószínűséggel már az első másodperc végére kihal. Tegyük fel tehát, hogy p<1, és jelöljük q-val a keresett valószínűséget. A baktérium p valószínűséggel már az első másodperc végére kihal. Tegyük fel, hogy az első másodpercben kettéosztódott. Mindkét leszármazott egymástól függetlenül q valószínűséggel fog kipusztulni, ezért feltéve azt az 1-p valószínűségű eseményt, hogy a baktérium az első másodpercben nem halt ki, q2 lesz annak a valószínűsége, hogy ezután mégis kihal.

Így fennáll a q=p+(1-p)q2 összefüggés, ahonnan q lehetséges értékeire a másodfokú egyenletből q1=1, illetve q_2=\frac{p}{1-p} adódik. Ha p\ge1/2, akkor q2\ge1, így q\le1 miatt q értéke csakis 1 lehet, p<1/2 esetén kizárólag ennek alapján viszont még nem dönthető el, hogy a baktérium q1=1 valószínűséggel, vagy pedig az 1-nél kisebb q2 valószínűséggel hal ki.

Megmutatjuk, hogy a valóságnak az utóbbi lehetőség felel meg. Legyen tehát p<1/2, és jelölje Qn annak a valószínűségét, hogy a baktériumnak az n-edik másodperc leteltével már nem lesznek utódai. Ekkor Q1=p, n\ge1 esetén pedig az első érveléssel teljesen analóg módon azt kapjuk, hogy Qn+1=p+(1-p)Qn2. Nyilván Q_1=p\le \frac{p}{1-p}=q_2, és ha Qn\leq2 igaz, akkor

Q_{n+1}=p+(1-p)Q_n^2\le p+(1-p)q_2^2=p+(1-p)\left(\frac{p}{1-p}\right)^2
=\frac{p}{1-p}=q_2

is teljesül. Ezért a monoton növő Qn sorozat egyik tagja sem nagyobb q2-nél, vagyis q-t ennek a sorozatnak a határértékeként kapva q\leq2 is teljesül.


Statistics:

50 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kovács 999 Noémi, Lovas Lia Izabella, Nagy 648 Donát, Paripás Viktor, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 points:Blázsik Zoltán, Csere Kálmán, Frankl Nóra, Rábai Domonkos.
3 points:19 students.
2 points:6 students.
1 point:4 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2009