Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4171. feladat (2009. március)

B. 4171. Egy baktérium minden másodpercben p valószínűséggel elpusztul, 1-p valószínűséggel pedig osztódik két ugyanolyan baktériummá (a leszármazottak egymástól függetlenül pusztulnak el, vagy osztódnak). Mekkora annak a valószínűsége, hogy a baktérium kihal?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Ha p=1, akkor a baktérium 1 valószínűséggel már az első másodperc végére kihal. Tegyük fel tehát, hogy p<1, és jelöljük q-val a keresett valószínűséget. A baktérium p valószínűséggel már az első másodperc végére kihal. Tegyük fel, hogy az első másodpercben kettéosztódott. Mindkét leszármazott egymástól függetlenül q valószínűséggel fog kipusztulni, ezért feltéve azt az 1-p valószínűségű eseményt, hogy a baktérium az első másodpercben nem halt ki, q2 lesz annak a valószínűsége, hogy ezután mégis kihal.

Így fennáll a q=p+(1-p)q2 összefüggés, ahonnan q lehetséges értékeire a másodfokú egyenletből q1=1, illetve q_2=\frac{p}{1-p} adódik. Ha p\ge1/2, akkor q2\ge1, így q\le1 miatt q értéke csakis 1 lehet, p<1/2 esetén kizárólag ennek alapján viszont még nem dönthető el, hogy a baktérium q1=1 valószínűséggel, vagy pedig az 1-nél kisebb q2 valószínűséggel hal ki.

Megmutatjuk, hogy a valóságnak az utóbbi lehetőség felel meg. Legyen tehát p<1/2, és jelölje Qn annak a valószínűségét, hogy a baktériumnak az n-edik másodperc leteltével már nem lesznek utódai. Ekkor Q1=p, n\ge1 esetén pedig az első érveléssel teljesen analóg módon azt kapjuk, hogy Qn+1=p+(1-p)Qn2. Nyilván Q_1=p\le \frac{p}{1-p}=q_2, és ha Qn\leq2 igaz, akkor

Q_{n+1}=p+(1-p)Q_n^2\le p+(1-p)q_2^2=p+(1-p)\left(\frac{p}{1-p}\right)^2
=\frac{p}{1-p}=q_2

is teljesül. Ezért a monoton növő Qn sorozat egyik tagja sem nagyobb q2-nél, vagyis q-t ennek a sorozatnak a határértékeként kapva q\leq2 is teljesül.


Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kovács 999 Noémi, Lovas Lia Izabella, Nagy 648 Donát, Paripás Viktor, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Csere Kálmán, Frankl Nóra, Rábai Domonkos.
3 pontot kapott:19 versenyző.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai