Problem B. 4173. (April 2009)

B. 4173. Determine those convex quadrilaterals ABCD that have an interior point P for which the triangles ABP, BCP, CDP, DAP have equal areas.

Suggested by P. Maga

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha a négyszög egyik átlója felezi a négyszög területét, akkor annak felezőpontját választhatjuk P-nek. A továbbiakban megmutatjuk, hogy más megoldás nem létezik. Indítsunk vektorokat a P pontból a négyszög csúcsaiba, ezeket jelölje értelemszerűen a,b,c és d. Ha az ABP, BCP, CDP, DAP háromszögek területe egyenlő, akkor az a×b, b×c, c×d, d×a vektorok hossza is egyenlő, hiszen megegyezik a háromszögek közös területének kétszeresével. Ha ezen felül a P pont a konvex ABCD négyszög belső pontja, akkor e vektorok iránya is megegyezik, vagyis

a×b=b×c=c×d=d×a.

A vektoriális szorzás elemi tulajdonságaival számolva innen

b×(a+c)=d×(a+c)=0

adódik. Ha a+c=0, akkor P éppen az AC átló felezőpontja, ellenkező esetben pedig azt kapjuk, hogy b és d is párhuzamos a nullától különböző a+c vektorral, ezért egymással is párhuzamosak, vagyis P illeszkedik a BD átlóra. Akármelyik átlóra essen is P, azt az átlót P-nek feleznie kell, a szóban forgó átlónak pedig feleznie kell a négyszög területét.

Statistics:

52 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Győrfi 946 Mónika, Huszár Kristóf, Iglói Gábor, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Nagy 729 Krisztina, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szórádi Márk, Tuan Nhat Le, Weimann Richárd, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 points:	Blattner Tímea.
2 points:	7 students.
1 point:	16 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009