KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4174. Solve the following simultaneous equations on the set of real numbers:

(1)4a+bc=32,
(2)2a-2c-b2=0,
(3)a+12b-c-ab=6.

(4 points)

Deadline expired on 15 May 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az (1) összefüggés felhasználásával a (2), illetve (3) egyenletből a-t kiküszöbölve a

(2')4c+bc+2b2=32,
(3')16b+2b2+b2c=24

egyenletekre jutunk. A c ismeretlent is kiküszöbölhetjük, ha a (2') egyenletet b2-tel, (3')-t pedig (b+4)-gyel szorozzuk. Az így nyert két egyenletet egymásból kivonva, majd 2-vel leosztva b4-b3-28b2-20b+48=0 adódik. Mivel itt az együtthatók összege 0, az egyenletnek b=1 gyöke. A b-1 gyöktényezőt kiemelve az egyenletet (b-1)(b3-28b-48)=0 alakra hozhatjuk. Bízva abban, hogy az egyenletnek további egész gyökei is vannak, 48 osztóival próbálkozva hamar megtaláljuk a b=-2 megoldást is, amellyel a b3-28b-48=(b+2)(b2-2b-24) szorzattá alakítást elvégezve a maradék két gyököt a b2-2b-24 másodfokú egyenlet megoldásaként nyerjük. A négy lehetőség tehát b1=1, b2=-2, b3=-4 és b4=6. A megfelelő c1=6, c2=12, c3=3,5, illetve c4=-4 értékeket megkaphatjuk a (3') egyenletbe történő behelyettesítéssel, végül (1) alapján rendre a1=6,5, a2=14, a3=11,5 és a4=14 adódik. Az egyenletrendszert mind a négy számhármas kielégíti.


Statistics on problem B. 4174.
91 students sent a solution.
4 points:62 students.
3 points:10 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley