Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4174. (April 2009)

B. 4174. Solve the following simultaneous equations on the set of real numbers:

(1)4a+bc=32,
(2)2a-2c-b2=0,
(3)a+12b-c-ab=6.

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az (1) összefüggés felhasználásával a (2), illetve (3) egyenletből a-t kiküszöbölve a

(2')4c+bc+2b2=32,
(3')16b+2b2+b2c=24

egyenletekre jutunk. A c ismeretlent is kiküszöbölhetjük, ha a (2') egyenletet b2-tel, (3')-t pedig (b+4)-gyel szorozzuk. Az így nyert két egyenletet egymásból kivonva, majd 2-vel leosztva b4-b3-28b2-20b+48=0 adódik. Mivel itt az együtthatók összege 0, az egyenletnek b=1 gyöke. A b-1 gyöktényezőt kiemelve az egyenletet (b-1)(b3-28b-48)=0 alakra hozhatjuk. Bízva abban, hogy az egyenletnek további egész gyökei is vannak, 48 osztóival próbálkozva hamar megtaláljuk a b=-2 megoldást is, amellyel a b3-28b-48=(b+2)(b2-2b-24) szorzattá alakítást elvégezve a maradék két gyököt a b2-2b-24 másodfokú egyenlet megoldásaként nyerjük. A négy lehetőség tehát b1=1, b2=-2, b3=-4 és b4=6. A megfelelő c1=6, c2=12, c3=3,5, illetve c4=-4 értékeket megkaphatjuk a (3') egyenletbe történő behelyettesítéssel, végül (1) alapján rendre a1=6,5, a2=14, a3=11,5 és a4=14 adódik. Az egyenletrendszert mind a négy számhármas kielégíti.


Statistics:

91 students sent a solution.
4 points:62 students.
3 points:10 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009