A B. 4174. feladat (2009. április)

B. 4174. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert:

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az (1) összefüggés felhasználásával a (2), illetve (3) egyenletből a-t kiküszöbölve a

egyenletekre jutunk. A c ismeretlent is kiküszöbölhetjük, ha a (2') egyenletet b²-tel, (3')-t pedig (b+4)-gyel szorozzuk. Az így nyert két egyenletet egymásból kivonva, majd 2-vel leosztva b⁴-b³-28b²-20b+48=0 adódik. Mivel itt az együtthatók összege 0, az egyenletnek b=1 gyöke. A b-1 gyöktényezőt kiemelve az egyenletet (b-1)(b³-28b-48)=0 alakra hozhatjuk. Bízva abban, hogy az egyenletnek további egész gyökei is vannak, 48 osztóival próbálkozva hamar megtaláljuk a b=-2 megoldást is, amellyel a b³-28b-48=(b+2)(b²-2b-24) szorzattá alakítást elvégezve a maradék két gyököt a b²-2b-24 másodfokú egyenlet megoldásaként nyerjük. A négy lehetőség tehát b₁=1, b₂=-2, b₃=-4 és b₄=6. A megfelelő c₁=6, c₂=12, c₃=3,5, illetve c₄=-4 értékeket megkaphatjuk a (3') egyenletbe történő behelyettesítéssel, végül (1) alapján rendre a₁=6,5, a₂=14, a₃=11,5 és a₄=14 adódik. Az egyenletrendszert mind a négy számhármas kielégíti.

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	62 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai