KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4176. (April 2009)

B. 4176. Solve the following equation:

(sin x+sin 2x+sin 3x)2+(cos x+cos 2x+cos 3x)2=1.

(4 pont)

Deadline expired on 15 May 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Felhasználva a sin2\alpha+cos2\alpha=1 és a sin \alphasin \beta+cos \alphacos \beta=cos (\beta-\alpha) összefüggéseket, a négyzetreemelést elvégezve és a tagokat megfelelően csoportosítva az egyenletet

3+4cos x+2cos 2x=1,  cos 2x+2cos x+1=0

alakra hozhatjuk. Mivel cos 2x=2cos2x-1, ez ekvivalens a cos2x+cos x=0 egyenlettel. Ez pontosan akkor teljesül, ha cos x=0, vagy ha cos x=-1. Az egyenlet megoldásai tehát az x=\pi/2+k\pi és az x=\pi+2k\pi számok, ahol k végigfut az összes egész számon.


Statistics:

>
81 students sent a solution.
4 points:57 students.
3 points:18 students.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley