Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4179. (April 2009)

B. 4179. The vertex C of a parabola is the centre of a circle that passes through the focus F of the parabola. Let the intersections of the parabola and the circle be A and B, let AB and CF intersect at E, and let D denote the point of the circle that lies opposite to F. Show that DE is the geometric mean of FE and the diameter of the circle.

(3 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Mivel bármely két parabola hasonló, feltehetjük, hogy az y=x2 egyenletű paraboláról van szó. Ekkor a C pont az origó, a fókusz koordinátái F(0;1/4), vagyis a kör egyenelete x2+y2=1/16, a D pont koordinátai pedig D(0;-1/4). Az A,B metszéspontok második koordinátája pozitív és kielégíti az y+y2=1/16 egyenletet. Az E(0;t) pont az AB szakasz felezőpontja, ezért a t számra szintén teljesül t+t2=1/16. Ennélfogva

DE^2=\Bigl(\frac{1}{4}+t\Bigr)^2=\frac{1}{2}\cdot\Bigl(\frac{1}{4}-t\Bigr)
=DF\cdot FE,

ahogyan azt bizonyítani kellett.


Statistics:

62 students sent a solution.
3 points:Beke Lilla, Béres Ferenc, Botos Csongor, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Deák Gábor, Dinh Hoangthanh Attila, Dunay Luca, Gudenus Balázs, Gyarmati Máté, Horowitz Gábor, Janosov Milán, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Kiss 232 Dóra, Korondi Zénó, Kovács 999 Noémi, Köpenczei Gergő, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Loose Lilla, Lovas Lia Izabella, Matyuska Péter, Mezei Márk, Molnár Gabriella, Nagy 123 Balázs, Nagy Róbert, Németh 217 Balázs, Németh Bence, Paripás Viktor, Rábai Domonkos, Remete László, Szabó 928 Attila, Szakács Enikő, Szepcsik Áron, Tóth 222 Barnabás, Török 999 Csaba, Udvari Benjámin, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Welsz Edit, Zsakó András.
2 points:8 students.
1 point:6 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009