Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4180. (April 2009)

B. 4180. Prove that the sequence a_n=\big[n \sqrt{2}\,\big] contains infinitely many integer powers of 3.

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tetszőleges \alpha pozitív egész esetén jelölje n_\alpha azt a jól meghatározott egész számot, amelyre n_\alpha\sqrt{2}<3^\alpha<(n_\alpha+1)\sqrt{2} teljesül (\sqrt{2} iracionalitása miatt 3^\alpha/\sqrt{2} nem lehet egész szám). A 3^\alpha szám pontosan akkor eleme az an sorozatnak, ha 3^\alpha>(n_\alpha+1)\sqrt{2}-1. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben \alpha\ge\beta esetén 3^\alpha nem eleme az an sorozatnak, vagyis n_\alpha\sqrt{2}<3^\alpha<n_\alpha\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1). Legyen \gamma a legkisebb pozitív egész, amelyre 3^\gamma(3^\beta-n_\beta\sqrt{2})>\sqrt{2}-1 teljesül, ekkor 0<3^{\gamma-1}(3^\beta-n_\beta\sqrt{2})<\sqrt{2}-1. Ebben az esetben

3^\gamma n_\beta\sqrt{2}<
3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)<3^{\beta+\gamma}<
3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+3(\sqrt{2}-1)<3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+\sqrt{2},

vagyis \alpha=\beta+\gamma esetén n_\alpha=3^\gamma n_\beta és n_\alpha\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)<3^\alpha, ami ellentmond \beta választásának.


Statistics:

24 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zsakó András.
4 points:Strenner Péter, Tuan Nhat Le.
3 points:1 student.
2 points:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009