Problem B. 4180.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4180. Prove that the sequence $a_n=\big[n \sqrt{2}\,\big]$ contains infinitely many integer powers of 3.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Tetszőleges $\alpha$ pozitív egész esetén jelölje $n_\alpha$ azt a jól meghatározott egész számot, amelyre $n_\alpha\sqrt{2}<3^\alpha<(n_\alpha+1)\sqrt{2}$ teljesül ( $\sqrt{2}$ iracionalitása miatt $3^\alpha/\sqrt{2}$ nem lehet egész szám). A $3^\alpha$ szám pontosan akkor eleme az a_n sorozatnak, ha $3^\alpha>(n_\alpha+1)\sqrt{2}-1$ . Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben $\alpha$ $\ge$ $\beta$ esetén $3^\alpha$ nem eleme az a_n sorozatnak, vagyis $n_\alpha\sqrt{2}<3^\alpha<n_\alpha\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)$ . Legyen $\gamma$ a legkisebb pozitív egész, amelyre $3^\gamma(3^\beta-n_\beta\sqrt{2})>\sqrt{2}-1$ teljesül, ekkor $0<3^{\gamma-1}(3^\beta-n_\beta\sqrt{2})<\sqrt{2}-1$ . Ebben az esetben

$3^\gamma n_\beta\sqrt{2}< 3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)<3^{\beta+\gamma}< 3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+3(\sqrt{2}-1)<3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+\sqrt{2},$

vagyis $\alpha$ = $\beta$ + $\gamma$ esetén $n_\alpha=3^\gamma n_\beta$ és $n_\alpha\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)<3^\alpha$ , ami ellentmond $\beta$ választásának.

Statistics on problem B. 4180.

24 students sent a solution.

5 points: Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zsakó András.

4 points: Strenner Péter, Tuan Nhat Le.

3 points: 1 student.

2 points: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009

Our web pages are supported by:

ELTE