KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4180. Prove that the sequence a_n=\big[n \sqrt{2}\,\big] contains infinitely many integer powers of 3.

(5 points)

Deadline expired on 15 May 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Tetszőleges \alpha pozitív egész esetén jelölje n_\alpha azt a jól meghatározott egész számot, amelyre n_\alpha\sqrt{2}<3^\alpha<(n_\alpha+1)\sqrt{2} teljesül (\sqrt{2} iracionalitása miatt 3^\alpha/\sqrt{2} nem lehet egész szám). A 3^\alpha szám pontosan akkor eleme az an sorozatnak, ha 3^\alpha>(n_\alpha+1)\sqrt{2}-1. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben \alpha\ge\beta esetén 3^\alpha nem eleme az an sorozatnak, vagyis n_\alpha\sqrt{2}<3^\alpha<n_\alpha\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1). Legyen \gamma a legkisebb pozitív egész, amelyre 3^\gamma(3^\beta-n_\beta\sqrt{2})>\sqrt{2}-1 teljesül, ekkor 0<3^{\gamma-1}(3^\beta-n_\beta\sqrt{2})<\sqrt{2}-1. Ebben az esetben

3^\gamma n_\beta\sqrt{2}<
3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)<3^{\beta+\gamma}<
3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+3(\sqrt{2}-1)<3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+\sqrt{2},

vagyis \alpha=\beta+\gamma esetén n_\alpha=3^\gamma n_\beta és n_\alpha\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)<3^\alpha, ami ellentmond \beta választásának.


Statistics on problem B. 4180.
24 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zsakó András.
4 points:Strenner Péter, Tuan Nhat Le.
3 points:1 student.
2 points:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program