Problem B. 4180. (April 2009)
B. 4180. Prove that the sequence contains infinitely many integer powers of 3.
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Tetszőleges pozitív egész esetén jelölje azt a jól meghatározott egész számot, amelyre teljesül ( iracionalitása miatt nem lehet egész szám). A szám pontosan akkor eleme az an sorozatnak, ha . Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben esetén nem eleme az an sorozatnak, vagyis . Legyen a legkisebb pozitív egész, amelyre teljesül, ekkor . Ebben az esetben
vagyis =+ esetén és , ami ellentmond választásának.
Statistics:
24 students sent a solution. 5 points: Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zsakó András. 4 points: Strenner Péter, Tuan Nhat Le. 3 points: 1 student. 2 points: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009