Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4182. (May 2009)

B. 4182. The endpoints of the hypotenuse of a right-angled triangle of area t are the foci of an ellipse, and the third vertex lies on the ellipse. Prove that the area of the ellipse is at least \sqrt{2}\pi t.

(3 pont)

Deadline expired on June 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a háromszög befogói a és b, az ellipszis fókuszpontjai F1,F2, középpontja O, nagy-, illetve kistengelyének egyik végpontja pedig N és K. Az ellipszis mértani helyként történő megadása alapján az ellipszis nagytengelye n=F1N+F2N=a+b, a kistengely hosszát pedig az F1OK derékszögű háromszögből így számolhatjuk ki: F_1O=\sqrt{a^{2}+b^{2}}/2, F1K=(a+b)/2, k=2OK=2\sqrt{F_1K2-F_1O2}=\sqrt{2ab}. Így a számtani- és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség alapján az ellipszis területe

T=\frac{\pi}{4}nk\ge \frac{\pi}{4}\cdot2\sqrt{ab}\cdot\sqrt{2ab}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cdot ab=\sqrt{2}\pi t,

ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a háromszög egyenlő szárú.


Statistics:

71 students sent a solution.
3 points:56 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009