KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4182. (May 2009)

B. 4182. The endpoints of the hypotenuse of a right-angled triangle of area t are the foci of an ellipse, and the third vertex lies on the ellipse. Prove that the area of the ellipse is at least \sqrt{2}\pi t.

(3 pont)

Deadline expired on 15 June 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a háromszög befogói a és b, az ellipszis fókuszpontjai F1,F2, középpontja O, nagy-, illetve kistengelyének egyik végpontja pedig N és K. Az ellipszis mértani helyként történő megadása alapján az ellipszis nagytengelye n=F1N+F2N=a+b, a kistengely hosszát pedig az F1OK derékszögű háromszögből így számolhatjuk ki: F_1O=\sqrt{a^{2}+b^{2}}/2, F1K=(a+b)/2, k=2OK=2\sqrt{F_1K2-F_1O2}=\sqrt{2ab}. Így a számtani- és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség alapján az ellipszis területe

T=\frac{\pi}{4}nk\ge \frac{\pi}{4}\cdot2\sqrt{ab}\cdot\sqrt{2ab}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cdot ab=\sqrt{2}\pi t,

ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a háromszög egyenlő szárú.


Statistics:

71 students sent a solution.
3 points:56 students.
2 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley