Problem B. 4183. (May 2009)

B. 4183. Find those arithmetic progressions in which the sum of the first n elements is a perfect square for every n.

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a sorozat első eleme \(\displaystyle a\), differenciája \(\displaystyle d\), az első \(\displaystyle n\) elem összege pedig

\(\displaystyle S_n=\frac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n.\)

\(\displaystyle S_1=a\) és \(\displaystyle S_2=2a+d\) miatt \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle d\) is egész számok. \(\displaystyle S_4=4a+6d\) páros, vagyis 4-gyel osztható, amiért is \(\displaystyle d\) páros, vagyis \(\displaystyle d=2b\) alkalmas \(\displaystyle b\) egész számmal. Ekkor \(\displaystyle S_n=n(a+(n-1)b)=n^2b+n(a-b)\). Ha \(\displaystyle p\) tetszőleges prímszám, akkor \(\displaystyle p\mid S_p\) miatt \(\displaystyle p^2\mid S_p\), vagyis \(\displaystyle p\mid a-b\) is fenn kell, hogy álljon. Mivel végtelen sok különböző prímszám van, ez csak \(\displaystyle a=b\) esetén lehetséges. \(\displaystyle S_1=a\) pedig négyzetszám kell legyen, és ezért \(\displaystyle a=c^2\), \(\displaystyle d=2c^2\) alkalmas \(\displaystyle c\) egész számmal, ami a konstans 0 esetet is magában foglalja. Ezek a sorozatok pedig mind megfelelők lesznek, hiszen rájuk \(\displaystyle S_n=(nc)^2\) mindig négyzetszám lesz.

Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:	Beke Lilla, Béres Ferenc, Blázsik Zoltán, Deák Zsolt, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Gyarmati Máté, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Szórádi Márk, Tóth Tekla, Tuan Nhat Le, Vajk Dóra, Varga 171 László, Vécsey Máté, Weisz Ágoston.
3 points:	Bodai Kristóf, Böőr Katalin, Csere Kálmán, Czipó Bence, Keresztfalvi Tibor, Lantos Tamás, Milánkovich Dorottya, Nagy 123 Balázs, Németh Bence, Perjési Gábor, Vuchetich Bálint, Zelena Réka.
2 points:	9 students.
1 point:	6 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009