KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4184. The vertices of a cyclic quadrilateral divide the circumscribed circle into four arcs. The midpoints of the arcs are, in this order, F1, F2, F3 and F4. Show that the line segment F1F3 is perpendicular to F2F4.

(3 points)

Deadline expired on 15 June 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A sokszög csúcsai legyenek A,B,C,D az ábrán látható módon, az átlók metszéspontja legyen M. Az egymástól páronként diszjunkt AB,BC,CD,DA ívekhez tartozó középponti szögeket jelölje rendre \alpha,\beta,\gamma,\delta, ezek összege nyilván 2\pi.

Az F2 pontból az AB ív \alpha/2 szög alatt látszik, ezért az AF1 ív \alpha/4 szög alatt látszik. Az AF2F4 szög nagysága hasonlóképpen \delta/4, vagyis az F1F2F4 szög nagysága (\alpha+\delta)/4. Ugyanígy számolhatjuk ki azt is, hogy az F2F1F3 szög nagysága (\beta+\gamma)/4. Ezek alapján az F1F2M háromszögben az F1 és F2 csúcsoknál lévő szögek összege (\alpha+\beta+\gamma+\delta)/4=\pi/2, tehát az M csúcsnál lévő szög valóban derékszög.


Statistics on problem B. 4184.
76 students sent a solution.
3 points:54 students.
2 points:15 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley