Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4185. (May 2009)

B. 4185. Show that every non-zero polynomial can be multiplied by an appropriate non-zero polynomial, such that the exponent in each term of the product polynomial is divisible by 3.

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle i\in \{0,1,2\}\). Az \(\displaystyle f\) polinomot nevezzük \(\displaystyle i\)-típusúnak, ha benne minden tag kitevője 3-mal osztva \(\displaystyle i\) maradékot ad, az \(\displaystyle x^5-3x^2\) polinom például 2-típusú. Könnyen ellenőrizhet, hogy ha egy \(\displaystyle f\) polinom \(\displaystyle i\)-típusú, \(\displaystyle g\) pedig \(\displaystyle j\)-típusú, akkor \(\displaystyle fg\) szorzatuk \(\displaystyle (i+j)\)-típusú, ahol az összegzést modulo 3 értjük. Mármost tetszőleges \(\displaystyle p\) polinomot egyértelműen felírhatunk \(\displaystyle p=p_0+p_1+p_2\) alakban, ahol a \(\displaystyle p_i\) polinom \(\displaystyle i\)-típusú. Ekkor mind a \(\displaystyle p_i^3\) polinomok, mind a \(\displaystyle p_0p_1p_2\) polinom 0-típusúak lesznek. Az

\(\displaystyle (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=a^3+b^3+c^3-3abc\)

azonosságból leolvashatjuk hát, hogy a \(\displaystyle p_0^3+p_1^3+p_2^3-3p_0p_1p_2\) polinom a \(\displaystyle p\) polinomnak \(\displaystyle 0\)-típusú többszöröse, és éppen ilyen polinomot kerestünk.


Statistics:

32 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Keresztfalvi Tibor, Kovács 235 Gábor, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:Jernei Tamás, Márki Róbert.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009