Problem B. 4190.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4190. The solid shown in the Figure is made up of six congruent cubes glued together. Is it possible to fill the space without gaps and overlaps with congruent copies of this solid?

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Legyenek a kockák élei egységnyi hosszúságúak. Rögzítsünk

a térben egy derékszögű koordinátarendszert, és tekintsük

ebben az

A₀(0;0;0),A₁(1;0;0),A₂(0;1;0),A₃(0;0;1),A₄(0;-1;0),A₅(-1;0;0)

pontokat. Tetszőleges v(x;y;z) vektor esetén tekintsük az

${\mathcal X}_v=\{A_0+v,A_1+v,A_2+v,A_3+v,A_4+v,A_5+v\}$

halmazt, ezek nyilván páronként egybevágó halmazok. Ha x,y,z

olyan egész számok, amelyekre x+2y+3z osztható 6-tal, akkor

tetszőleges i-re teljesül, hogy az A_i+v pont x',y',z'

kordinátáira az x'+2y'+3z' szám 6-tal osztva éppen i maradékot

ad. Az is könnyen ellenőrizhető, hogy tetszőleges x',y',z'

egész számok esetén, ha x'+2y'+3z' 6-tal osztva i maradékot ad,

akkor van pontosan egy olyan v(x;y;z) vektor, melynek koordinátái

egészek, x+2y+3z 6-tal osztható, és az A_i+v pont koordinátái

éppen x',y',z'. Ez éppen azt jelenti, hogy azon ${\mathcal X_v}$

halmazok, ahol x,y,z olyan egész számok, amelyekre x+2y+3z osztható

6-tal, együttesen tartalmazzák az összes rácspontot, mégpedig

minden rácspont ezen halmazok közül pontosan egyhez tartozik hozzá.

Mármost ha minden egyes megfelelő v vektorra a szóban forgó test

egy példányát úgy helyezzük el a térben, hogy az őt felépítő kis kockák középpontjai az ${\mathcal X_v}$ halmaz elemeivel

essenek egybe (ami nyilván megtehető), akkor ezek a példányok

hézagmentesen és átfedések nélkül fogják a teret kitölteni.

Statistics on problem B. 4190.

45 students sent a solution.

5 points: Ágoston Tamás, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csizmadia Luca, Damásdi Gábor, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Mezei Márk, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Palincza Richárd, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston.

4 points: Baranyai Zoltán, Csere Kálmán, Frankl Nóra, Keresztfalvi Tibor, Nagy 648 Donát, Neukirchner Elisabeth, Nguyen Milán, Paripás Viktor.

3 points: 4 students.

2 points: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009

Our web pages are supported by:

ELTE