KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4191. (May 2009)

B. 4191. Find all positive integers a, b, c for which 2a-1 is divisible by b, 2b-1 is divisible by c and 2c-1 is divisible by a.

(5 pont)

Deadline expired on 15 June 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételeket \(\displaystyle a=b=c=1\) nyilván kielégíti. Megmutatjuk, hogy ezen kívül a feladatnak nincsen más megoldása. Tegyük fel ugyanis, hogy létezik olyan prímszám, amely az \(\displaystyle a,b,c\) számok közül valamelyiknek osztója, és legyen \(\displaystyle p\) a lehető legkisebb ezek közül. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy \(\displaystyle p\mid a\). Ekkor \(\displaystyle p\mid 2^c-1\) is teljesül, vagyis \(\displaystyle 2^c\equiv 1\pmod{p}\). Jelölje \(\displaystyle n\) a legkisebb olyan pozitív egész számot, amelyre \(\displaystyle 2^n\equiv 1\pmod{p}\) teljesül. Ilyen szám tehát létezik, és nyilván nagyobb, mint 1. A kis Fermat-tétel miatt \(\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\) is fennáll. Nem nehéz megmutatni, hogy ha egy \(\displaystyle x\) pozitív egész számra \(\displaystyle 2^x\equiv 1\pmod{p}\) teljesül, akkor \(\displaystyle x\) osztható kell legyen \(\displaystyle n\)-nel. Ezért \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle p-1\) is osztható \(\displaystyle n\)-nel, tehát van közös prímosztójuk. Ez azonban ellentmond \(\displaystyle p\) választásának.


Statistics:

24 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László.
4 points:Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Strenner Péter, Tuan Nhat Le, Weisz Ágoston.
3 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley