Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4191. (May 2009)

B. 4191. Find all positive integers a, b, c for which 2a-1 is divisible by b, 2b-1 is divisible by c and 2c-1 is divisible by a.

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételeket \(\displaystyle a=b=c=1\) nyilván kielégíti. Megmutatjuk, hogy ezen kívül a feladatnak nincsen más megoldása. Tegyük fel ugyanis, hogy létezik olyan prímszám, amely az \(\displaystyle a,b,c\) számok közül valamelyiknek osztója, és legyen \(\displaystyle p\) a lehető legkisebb ezek közül. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy \(\displaystyle p\mid a\). Ekkor \(\displaystyle p\mid 2^c-1\) is teljesül, vagyis \(\displaystyle 2^c\equiv 1\pmod{p}\). Jelölje \(\displaystyle n\) a legkisebb olyan pozitív egész számot, amelyre \(\displaystyle 2^n\equiv 1\pmod{p}\) teljesül. Ilyen szám tehát létezik, és nyilván nagyobb, mint 1. A kis Fermat-tétel miatt \(\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\) is fennáll. Nem nehéz megmutatni, hogy ha egy \(\displaystyle x\) pozitív egész számra \(\displaystyle 2^x\equiv 1\pmod{p}\) teljesül, akkor \(\displaystyle x\) osztható kell legyen \(\displaystyle n\)-nel. Ezért \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle p-1\) is osztható \(\displaystyle n\)-nel, tehát van közös prímosztójuk. Ez azonban ellentmond \(\displaystyle p\) választásának.


Statistics:

24 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László.
4 points:Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Strenner Péter, Tuan Nhat Le, Weisz Ágoston.
3 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009